Министерство образования Российской Федерации

Международный образовательный консорциум «Открытое образование»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

АНО «Евразийский открытый институт»

Б.А. Лагоша

Учебное пособие

Москва 2004

УДК 519.865.7 ББК 65.050

Лагоша Б.А. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ: Учебное пособие. / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики - М., 2004. - 133 с.

ISBN 5-7764-0392-8


Предисловие..........................................................................................................................
ГЛАВА 1. ................
1.1. Некоторые понятия и определения теории множеств и функций....................
1.2. Оптимизация функций на ограниченном множестве........................................
1.3. Зависимость функции и множества, на котором она максимизируется,
от параметра...........................................................................................................
1.4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными.......................................................................................................... .
1.5. Линейные дифференциальные уравнения с постояннымикоэффициентами......
1.6. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных
уравнений...............................................................................................................
Вопросы и задачи для внеаудиторной работы…………………………….........
ГЛАВА 2. Основы моделирования экономических процессов..................................
2.1. Система, модель.....................................................................................................
2.2. Управление. Обратная связь.................................................................................
2.2.1. Общая принципиальная схема управления................................................
2.2.2. Иерархия управления...................................................................................
2.3. Экономическая система как объект управления (некоторые аспекты
математического моделирования) .......................................................................

ГЛАВА 3. Оптимизационные модели экономической динамики..............................
3.1. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель........................
3.2. Частные случаи......................................................................................................
3.3. Однопродуктовая оптимизационная динамическая макроэкономическая
модель.....................................................................................................................
3.4. Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики
Вопросы для внеаудиторной работы..........................................................................
ГЛАВА 4. Достаточные условия оптимальности .........................................................
4.1. Вспомогательные математические конструкции...............................................
4.2. Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов................
4.3. Достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов.............
4.4. Обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности.......................
4.5. Непосредственное применение достаточных условий оптимальности
к решению задач....................................................................................................
4.5.1. Процессы, линейные по управлению, без ограничений на управление.
4.5.2. Процессы, линейные по управлению, с ограничениями на управление
Вопросы для внеаудиторной работы..........................................................................
ГЛАВА 5. Однопродуктовая макроэкономическая модель оптимального
развития экономики .........................................................................................
5.1. Моделирование производства на макроуровне: некоторые свойства
производственных функций.................................................................................
5.2. Модель развития экономики: магистральная теория.........................................
Вопросы для внеаудиторной работы..........................................................................

ГЛАВА 6. Метод Лагранжа - Понтрягина для непрерывных управляемых
процессов ...........................................................................................................
6.1. Уравнения метода..................................................................................................
6.2. Принцип максимума Понтрягина........................................................................
6.3. Принцип максимума как достаточное условие оптимальности.......................
6.4. Задача Эйлера вариационного исчисления..................................................................
Задачи для внеаудиторной работы.......................................................................................
ГЛАВА 7. Метод Лагранжа для многошаговых процессов управления..................
7.1. Уравнения метода. Условия оптимальности для многошагового процесса
с неограниченным управлением..........................................................................
7.2. Условия оптимальности для многошагового процесса при наличии
ограничений на управление..................................................................................
Задачи для внеаудиторной работы..............................................................................
ГЛАВА 8. Некоторые применения необходимых условий оптимальности
в форме Лагранжа – Понтрягина .................................................................
8.1. Цели исследования. Оптимальное управление движущимся объектом..........
8.2. Календарное планирование поставки продукции. Дискретный вариант.

8.3. Оптимальное планирование поставки продукции. Непрерывный вариант.
Численное решение................................................................................................
8.4. Оптимальное потребление в однопродуктовой макроэкономической модели
Вопросы и задачи для внеаудиторной работы...........................................................
ГЛАВА 9. Метод Гамильтона – Якоби – Беллмана ......................................................
9.1. Идея и основные элементы...................................................................................
9.1.1. Уравнение Гамильтона - Якоби - Беллмана. Непрерывный вариант......
9.1.2. Синтез оптимального управления...............................................................
9.2. Алгоритм Гамильтона - Якоби - Беллмана (для непрерывных процессов) .....
9.3. Метод Гамильтона - Якоби - Беллмана. Многошаговый вариант....................
9.4. Оптимальное распределение инвестиций между проектами методом
динамического программирования......................................................................
9.5. Сравнительный анализ методов Лагранжа - Понтрягина и
Гамильтона - Якоби – Беллмана...........................................................................
Задачи для самостоятельного решения......................................................................
Краткий словарь терминов...............................................................................................
Литература............................................................................................................................
Предметный указатель......................................................................................................

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основе настоящего учебного пособия лежат Государственный образовательный стандарт по специальности 061800 «Математический методы в экономике», результаты многолетнего сотрудничества автора с доктором технический наук, профессором В.Ф. Кротовым на кафедре экономической кибернетики в Московском государственном университете экономики статистики и информатики (МЭСИ) и учебное пособие [ 9 ] по расширенному курсу теории оптимального управления (ТОУ). Это пособие давно стало библиографической редкостью, в связи с чем возникла необходимость подготовки данного учебного пособия с учетом накопленного опыта преподавания и происходящих изменений в экономике с учетом новых возможностей использования вычислительной техники.

Скептикам, полагающим, что ТОУ экономистам вообще не нужна, что это занятие для инженеров, математиков, физиков и других представителей естественно-научных знаний, можно ответить следующее. С позиций прошлого, Вы, безусловно правы. Так было, пока от математики в экономике требовался лишь инструментарий для вычислений при решении расчетных задач.

По мере становления в нашей стране рыночной экономики ситуация начала меняться. Возросла роль математики как аналитического средства в экономике, уменьшилась необходимость ориентировать и направлять интеллектуальные ресурсы прежде всего на нужды обороны. Стало очевидным, что бизнес будет платить (и уже во многих случаях платит) за обоснованные компетентными расчетами и анализом инвестиционные проекты, прогнозы, рекомендации по снижению риска. В этих условиях экономика от апологетиковербальной ориентации прошлого начала поворачиваться к естественно-научным дисциплинам, хотя ее достижения в этом направлении по-прежнему нельзя сопоставлять с точными законами и выводами в естествознании.

Теория оптимального управления инвариантна к прикладным областям применения, если содержательные постановки задач вписываются в рамки принятых в ней канонических правил. Соответствующие возможности в сфере экономики реализуются в форме динамических оптимизационных моделей в управляемых системах с различными целевыми функциями и множеством ограничений на переменные состояния и управления.

В рамках Государственного стандарта и рабочей программы курса рассматриваются только детерминированные модели. Факторам неопределенности и риска в экономической практике, а также соответствующим математическим моделям посвящено учебное пособие.

В настоящем учебном пособии изложение всех конкретных методов оптимального управления ведется с единых методологических позиций - достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова . Результаты соответствующих теорем непосредственно проявляются как признак оптимальности для непрерывных и дискретных (многошаговых) управляемых процессов в общем виде. Ставя при формулировке задачи оптимального управления ряд дополнительных требований (ограничений), получаем соотношения в форме Лагранжа - Понтрягина как необходимые условия оптимальности. Применительно

к непрерывным управляемым процессам (двухточечная краевая задача для системы дифференциальных уравнений) они известны в форме принципа максимума Понтрягина .

Из достаточных условий оптимальности с помощью специального выбора функ-

ции ϕ (t, x ) (результат решения дифференциального уравнения Беллмана в частных про-

изводных для непрерывных и конечно-разностного - для многошаговых процессов) получаем алгоритмы динамического программирования для непрерывных и дискретных управляемых систем [ 9 ]. Таким образом, разработанные ранее как независимые принцип максимума и метод динамического программирования выводятся через достаточные условия оптимальности В.Ф.Кротова.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В целом теоретическая часть учебного пособия отражает совокупность математических методов ТОУ, которые могут использоваться в различных прикладных направлениях. Как уже говорилось, внимание сосредоточивается на их применении в макроэкономических динамических исследованиях, хотя будут рассматриваться и другие примеры.

В главе 1 приведены справочные данные по необходимому для изучения ТОУ математическому аппарату. Поскольку в экономических вузах ТОУ читается не раньше, чем на 7-9 семестрах, а математические дисциплины завершаются в основном на втором курсе, к началу изучения ТОУ студенты нередко забывают необходимые математические методы. Это изначально вызывает трудности в изучении курса. Поэтому здесь в стиле справочника отражены сведения по применению элементов дифференциального и интегрального исчисления к исследованию графиков функций и нахождению их экстремальных значений, включая зависимость функций от параметра. В таком же стиле представлены дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные с постоянными коэффициентами, однородные и неоднородные не выше второго порядка (большего в учебных целях не требуется), методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в формах задач Коши и двухточечной краевой. На примерах поясняется разница между операторами inf и min, sup и max. Приводятся необходимые в ТОУ сведения из теории множеств. В последующих главах, в которых излагаются основные разделы курса, делаются необходимые ссылки на соответствующие разделы и формулы главы 1.

В главе 2 представлены основные понятия системного анализа: система, модель, управление, обратная связь, замкнутая система, внешняя среда. Дается характеристика экономической системы как объекта управления, что отражает некоторые аспекты ее математического моделирования. Приводится пример системы с необходимостью проведения диагностического анализа с позиций указанных выше факторов. Материал этой главы важен для последующего изложения конкретных методов оптимального управления. Он используется для углубления понимания синтеза оптимальных управлений в методе Ла-

гранжа - Понтрягина.

В соответствии с общей направленностью системного анализа, в главе 3, рассматриваются некоторые типовые оптимизационные модели экономической динамики. Данный процесс сопровождается примерами задач оптимального управления в непрерывной и дискретной постановке. Излагается метод построения траекторий управляемых процессов (вектора состояния и управления), на основе чего можно создавать для студентов конкретные упражнения.

В главе 4 представлена общая каноническая постановка задачи оптимального управления для непрерывных и дискретных процессов, вводятся вспомогательные математические конструкции и доказываются три теоремы о достаточных условиях оптимальности:

* для непрерывных процессов, когда оптимальное решение существует в классе допустимых;

* для дискретных (многошаговых) процессов;

* обобщенная теорема для непрерывных процессов, когда оптимальное решение не существует, но находится минимизирующая последовательность допустимых траекторий. Здесь показана разница между операторами инфинум и минимум, супремум и максимум Исследуется тип задачи с линейно входящим управлением без ограничений и с ограничениями на управление, когда решение (непрерывное или разрывное) достигается пу-

тем непосредственного применения достаточных условий оптимальности.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В главе 5 в соответствии с постановкой и алгоритмом решения задач, линейных по управлению представлена модификация макроэкономической модели производства и распределения продукции с использованием аппарата линейных по управлению задач с ограничениями на управление и с нелинейной производственной функцией Кобба-Дугласа. Согласно разработанному алгоритму решения, находится оптимальная траектория управления. При этом в каждый момент времени осуществляется разделение валового национального продукта на инвестиции и непроизводственное конечное потребление. Вводится понятие магистрального режима развития экономики, выявляются его свойства и объясняется содержательный смысл.

Глава 6 посвящена методу Лагранжа - Понтрягина (принципу максимума) для непрерывных управляемых процессов. Как необходимые при выполнении двух требований теоремы о достаточных условиях оптимальности выводятся уравнения метода. Дается комментарий к названию «принцип максимума». При наличии свободных граничных условий на правом конце (при t=T ) получаются так называемые условия трансверсальности.

В итоге нахождение оптимального процесса управления сводится к двухточечной краевой задаче для системы 2n дифференциальных уравнений, гдеn - размерность вектора состояния системы. Рассматривается особый частный случай - классическая задача Эйлера вариационного исчисления.

Выводятся ограничения для возможности применения принципа максимума как достаточного условия оптимальности. В этом причина популярности этого метода на практике. Даются примеры нахождения оптимальных процессов с решениями и без решений.

В главе 7 исследуется метод Лагранжа для дискретных (многошаговых) процессов с одномерным аргументом. Выводятся условия оптимальности для вариантов неограниченного управления и при наличии ограничений на управление. Приводятся задачи с решениями и без решений - для самостоятельной и внеаудиторной работы.

В главе 8 демонстрируются некоторые применения необходимых условий оптимальности в форме Лагранжа - Понтрягина. Рассматривается экономическая задача календарного планирования спроса и поставок продукции, не допускающей длительного хранения, в случае дискретного варианта потребления и производства. Задача календарного планирования для непрерывного варианта производства и потребления задается для внеаудиторной работы (при “ручной” технологии решения и с использованием ЭВМ). Все исходные данные, фигурирующие в названных задачах, условные. Для теоретического анализа это оказывается достаточным, а реальные экономические оценки - это специальный вопрос подготовки данных для использования моделей на практике, выходящий за рамки исследования.

В качестве иллюстрации аналитического решения находится и обосновывается оптимальное управление механическим прямолинейным движением. Показывается, что во всех случаях имеют место оптимальные решения.

В завершающей главе 9, исходя из теоремы о достаточных условиях оптимальности для непрерывных и дискретных (многошаговых) процессов реализуются достаточные условия оптимальности в форме Гамильтона - Якоби - Беллмана (динамического программирования). Анализируются различия между непрерывной и дискретной постановками задач. Как дискретный вариант представлен пример использования метода при оптимизации распределения инвестиций между инвестиционными проектами на фирме при условных исходных данных. Проводится сравнительный анализ методов Лагранжа - Понтрягина и Гамильтона - Якоби - Беллмана.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем учебном пособии использованы переработанные материалы ранее изданных с участием автора публикаций [ 6 , 9 ], личный опыт многолетнего преподавания курса ТОУ студентам и преподавателям в системе повышения квалификации, учебнометодические пособия в МЭСИ главным образом для решения задач.

В конце глав приводятся задачи с решениями, вопросы и задачи для самостоятельной работы.

Для изучения материала, изложенного в настоящем учебном пособии, достаточно владеть основами дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений в объеме первых двух курсов экономических вузов. Кроме того, при необходимости, как уже отмечалось, читатель может обратиться к справочному материалу главы 1.

Автор благодарит доктора технических наук профессора В.Ф.Кротова за многолетнее плодотворное сотрудничество, а также рецензентов: доктора экономических наук, профессора В.В.Лебедева (ГУУ) и доктора экономических наук, профессора Н.Е.Егорову (ЦЭМИ РАН), доктора технических наук, профессора Л.Г.Гагарину (Московский государственный институт электронной техники (Технический университет)) за внимательное прочтение рукописи, пожелания и рекомендации, способствовавшие улучшению учебного пособия.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ГЛАВА 1. Математический аппарат теории оптимального управления

1.1. Основные понятия и определения теории множеств и теории функций

Понятие множества в математике постулируется, чтобы оперировать с некоторыми совокупностями чисел, матриц, функций, других элементов, принадлежащих этим совокупностям. Множества могут быть конечными, бесконечными, пустыми. Конечное множество включает ограниченное число элементов, их можно пересчитать. Бесконечное множество содержит бесконечное число элементов.

Пусть заданы множества X иY с элементамиx X иу Y . Прямым (декартовым) произведением множествX иY называется множествоZ = X × Y , которое включает всевозможные парыν = (x ;y ), гдеx X ,y Y ,ν Z .

Пример 1.1 . Пусть даны множестваX ={x : 0≤ x ≤ 1};Y = {у : 0≤ y ≤ 1}. Тогда

Z = X × Y – единичный квадрат:Z ={ν = (x ,y ) : 0≤ x ≤ 1, 0≤ у ≤ 1} (рис.1.1).

Рис. 1.1. Иллюстрация прямого произведение множеств – единичный квадрат

На рис. 1.2 изображен случай, когда X иY – множества всех действительных чисел,Z = X × Y – вся координатная плоскость,V – некоторое ограниченное подмножество на этой плоскости.

Проекцией множества V на множествоX называется такое множествоV х (см. рис. 1.2) всех элементовx , для которого каждому элементуx V х можно поставить в соответствие по крайней мере один элементy Y , так чтобы пара (x ,y )V .

Сечением множества V при данномx (рис. 1.2) называется множествоV х всех эле-

ментов y Y , каждый из которых в паре с заданнымx образует элементν = (x ;y )V ;

Vх Y.

При этом будем обозначать: x V х ,y V х .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В практике оптимального управления важен частный случай, когда проекция V х не зависит отx (рис. 1.3)

Этот частный случай встретится при изучении в главе 6 алгоритма принципа мак-

симума Понтрягина, где y V у . В общем же случае имеют место обозначенияx V х ,y V х .

Рис. 1.2. Координатная плоскость с ограниченным на ней подмножеством V

Vx =Vy


Рис. 1.3. Частный случай независимости Vх от x (проекция Vу	равна сечению Vх )
Функция y = f (x ) называется законом отображения множестваX (x X ) на множе-
ство Y (y Y ). Функциональная связьf – конкретный вид этого отображения. На множест-
ва X иY в общем случае ограничения не накладываются. Элементами этих множеств мо-

6.2.1. Постановка и классификация задач теории оптимального управления. В подавляющем большинстве рассмотренных нами задач факторы, связанные с изменением изучаемых объектов и систем в течение времени, выносились за скобки. Возможно, при выполнении определенных предпосылок такой подход является конструктивным и правомерным. Однако очевидно и то, что это допустимо далеко не всегда. Существует обширный класс задач, в которых необходимо найти оптимальные действия объекта, учитывающие динамику его состояний во времени и пространстве. Методы их решения составляют предмет математической теории оптимального управления.

В весьма общем виде задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом:

Имеется некоторый объект, состояние которого характеризуется двумя видами параметров - параметрами состояния и параметрами управления, причем в зависимости от выбора последних процесс управления объектом протекает тем или иным образом. Качество процесса управления оценивается с помощью некоторого функционала*, на основе чего ставится задача: найти такую последовательность значений управляющих параметров, для которой данный функционал принимает экстремальное значение.

* Функционалом называется числовая функция, аргументами которой, как правило, служат другие функции.

С формальной точки зрения многие проблемы оптимального управления могут быть сведены к задачам линейного или нелинейного программирования большой размерности, так как каждой точке пространства состояний соответствует свой вектор неизвестных переменных. Все же, как правило, движение в данном направлении без учета специфики соответствующих задач не приводит к рациональным и эффективным алгоритмам их решения. Поэтому методы решения задач оптимального управления традиционно связаны с другим математическим аппаратом, берущим свое начало от вариационного исчисления и теории интегральных уравнений. Следует также заметить, что опять-таки в силу исторических причин теория оптимального управления была ориентирована на физические и технические приложения, и ее применение для решения экономических задач носит в определенном смысле вторичный характер. В то же время в целом ряде случаев модели исследования, применяющие аппарат теории оптимального управления, могут привести к содержательным и интересным результатам.

К сказанному выше необходимо добавить замечание о тесной связи, существующей между методами, применяемыми для решения задач оптимального управления, и динамическим программированием. В одних случаях они могут использоваться на альтернативной основе, а в других довольно удачно дополнять друг друга.

Существуют различные подходы к классификации задач оптимального управления. Прежде всего, их можно классифицировать в зависимости от объекта управления:

Ø Ø задачи управления с сосредоточенными параметрами;

Ø Ø задачи управления объектами с распределенными параметрами.

Примером первых является управление самолетом как единым целым, а вторых - управление непрерывным технологическим процессом.

В зависимости от типа исходов, к которым приводят применяемые управления, выделяют детерминированные и стохастические задачи. В последнем случае результатом управления является множество исходов, описываемых вероятностями их наступления.

По характеру изменения управляемой системы во времени различают задачи:

Ø Ø с дискретно изменяющимся временем ;

Ø Ø с непрерывно изменяющимся временем .

Аналогично классифицируются задачи управления объектами с дискретным или непрерывным множеством возможных состояний. Задачи управления системами, в которых время и состояния меняются дискретно, получили название задач управления конечными автоматами . Наконец, при определенных условиях могут ставиться задачи управления смешанными системами.

Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. При исследовании систем с распределенными параметрами, в зависимости от вида используемых дифференциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболические, эллиптические или гиперболические.

Рассмотрим два простейших примера задач управления экономическими объектами.

Задача распределения ресурсов. Имеется т складов с номерами i (i ∊1:m ), предназначенных для хранения однородного продукта. В дискретные моменты времени t ∊0:(T -l) происходит его распределение между объектами-потребителями (клиентами) с номерами j , j ∊1:n . Пополнение запаса в пунктах хранения продукта в t -й момент времени определяется величинами a i t , i ∊1:m , а потребности клиентов в нем равняются b j t , j ∊1:n . Обозначим через c t i,j - затраты на доставку единицы продукта из i -го склада j -му потребителю в момент времени t. Также предполагается, что продукт, поступивший на склад в момент t , может быть использован, начиная со следующего момента (t +l). Для сформулированной модели ставится задача найти такой план распределения ресурсов {х t i,j } T m xn , который минимизирует суммарные расходы на доставку потребителям продукции со складов в течение полного периода функционирования системы.

Обозначив через х t i,j количество продукта, поставляемое j -му клиенту с i -го склада в t -й момент времени, а через z t i - общее количество продукта на i -м складе, описанную выше проблему можно представить как задачу нахождения таких совокупностей переменных

которые обращают в минимум функцию

при условиях

где объемы начальных запасов продукта на складах z 0 i = ž i . предполагаются заданными.

Задачу (6.20)-(6.23) называют динамической транспортной задачей линейного программирования . С точки зрения приведенный выше терминологии независимые переменные х t i,j представляют собой параметры управления системой, а зависящие от них переменные z t i - совокупность параметров состояния системы в каждый момент времени t. Ограничения z t i ≥ 0 гарантируют, что в любой момент времени с любого склада не может быть вывезен объем продукта, превышающий его фактическое количество, а ограничения (6.21) задают правила изменения этого количества при переходе от одного периода к другому. Ограничения данного вида, которые задают условия на значения параметров состояния системы, принято называть фазовыми.

Отметим также, что условие (6.21) служит простейшим примером фазовых ограничений, поскольку связываются значения параметров состояния для двух смежных периодов t и t +l. В общем случае может устанавливаться зависимость для группы параметров, принадлежащих нескольким, возможно несмежным, этапам. Такая потребность может возникнуть, например, при учете в моделях фактора запаздывания поставок.

Простейшая динамическая модель макроэкономики. Представим экономику некоторого региона как совокупность п отраслей (j ∊1:п ), валовой продукт которых в денежном выражении на некоторый момент t может быть представлен в виде вектора z t =(z t 1 , z t 2 ,..., z t n ), где t ∊0:(Т -1). Обозначим через A t матрицу прямых затрат, элементы которой a t i,j , отражают затраты продукции i -й отрасли (в денежном выражении) на изготовление единицы продукции j -й отрасли в t -й момент времени. Если X t = ║x t i,j ║ n xm - матрица, задающая удельные нормы продукции i -й отрасли, идущей на расширение производства в j -й отрасли, а у t = (у t 1 , у t 2 , ..., у t n ) - вектор объемов продукции отраслей потребления, идущей на потребление, то условие расширенного воспроизводства можно записать как

где z 0 = ž - исходный запас продукции отраслей предполагается заданным и

В рассматриваемой модели величины z t являются параметрами состояния системы, а X t - управляющими параметрами. На ее базе могут быть поставлены различные задачи, типичным представителем которых является задача оптимального вывода экономики на момент Т к некоторому заданному состоянию z *. Данная задача сводится к отысканию последовательности управляющих параметров

удовлетворяющих условиям (6.24)-(6.25) и минимизирующих функцию

6.2.2. Простейшая задача оптимального управления. Один из приемов, применяемых для решения экстремальных задач, состоит в выделении некоторой проблемы, допускающей относительно несложное решение, к которой в дальнейшем могут быть сведены остальные задачи.

Рассмотрим так называемую простейшую задачу управления . Она имеет вид

Специфика условий задачи (6.27)-(6.29) состоит в том, что функции качества управления (6.27) и ограничения (6.28) являются линейными относительно z t , в то же время функция g (t , х t ), входящая в (6.28), может быть произвольной. Последнее свойство делает задачу нелинейной даже при t =1, т. е. в статическом варианте.

Общая идея решения задачи (6.27)-(6.29) сводится к ее «расщеплению» на подзадачи для каждого отдельно взятого момента времени, в предположении, что они успешно разрешимы. Построим для задачи (6.27)-(6.29) функцию Лагранжа

где λ t - вектора множителей Лагранжа (t ∊0:Т ). Ограничения (6.29), носящие общий характер, в функцию (6.30) в данном случае не включены. Запишем ее в несколько иной форме

Необходимые условия экстремума функции Ф(х, z, λ) по совокупности векторов z t задаются системой уравнений

которая называется системой для сопряженных переменных . Как можно заметить, процесс нахождения параметров λ t в системе (6.32) осуществляется рекуррентным образом в обратном порядке.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа по переменным λ t будут эквивалентны ограничениям (6.28), и, наконец, условия ее экстремума по совокупности векторов х t ∊Х t , t ∊1:(Т -1) должны быть найдены как результат решения задачи

Таким образом, задача поиска оптимального управления сводится к поиску управлений, подозрительных на оптимальность, т. е. таких, для которых выполняется необходимое условие оптимальности. Это, свою очередь, сводится к нахождению таких t , t , t , удовлетворяющих системе условий (6.28), (6.32), (6.33), которая называется дискретным принципом максимума Понтрягина.

Справедлива теорема.

Доказательство.

Пусть t , t , t , удовлетворяют системе (6.28), (6.32), (6.33). Тогда из (6.31) и (6.32) следует, что

и поскольку t удовлетворяет (6.33), то

С другой стороны, в силу (6.28) из (6.30) следует, что при любом векторе t

Следовательно,

Применяя теорему (6.2), а также положения теории нелинейного программирования, касающиеся связи между решением экстремальной задачи и существованием седловой точки (см. п. 2.2.2), приходим к выводу о том, что векторы t , t являются решением простейшей задачи оптимального управления (6.27)-(6.29).

В результате мы получили логически простую схему решения данной задачи: из соотношений (6.32) определяются сопряженные переменные t , затем в ходе решения задачи (6.33) находятся управления t и далее из (6.28) - оптимальная траектория состояний t ,.

Предложенный метод относится к фундаментальным результатам теории оптимального управления и, как уже это упоминалось выше, имеет важное значение для решения многих более сложных задач, которые, так или иначе, сводятся к простейшей. В то же время очевидны и пределы его эффективного использования, которые целиком зависят от возможности решения задачи (6.33).

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Ø Ø Игра, игрок, стратегия.

Ø Ø Игры с нулевой суммой.

Ø Ø Матричные игры.

Ø Ø Антагонистические игры.

Ø Ø Принципы максимина и минимакcа.

Ø Ø Седловая точка игры.

Ø Ø Цена игры.

Ø Ø Смешанная стратегия.

Ø Ø Основная теорема матричных игр.

Ø Ø Динамическая транспортная задача.

Ø Ø Простейшая динамическая модель макроэкономики.

Ø Ø Простейшая задача оптимального управления.

Ø Ø Дискретный принцип максимума Понтрягина.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1. Кратко сформулируйте предмет теории игр как научной дисциплины.

6.2. Какой смысл вкладывается в понятие «игра»?

6.3. Для описания каких экономических ситуаций может быть применен аппарат теории игр?

6.4. Какая игра называется антагонистической?

6.5. Чем однозначно определяются матричные игры?

6.6. В чем заключаются принципы максимина и минимакcа?

6.7. При каких условиях можно говорить о том, что игра имеет седловую точку?

6.8. Приведите примеры игр, которые имеют седловую точку и в которых она отсутствует.

6.9. Какие подходы существуют к определению оптимальных стратегий?

6.10. Что называют «ценой игры»?

6.11. Дайте определение понятию «смешанная стратегия».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов Л. М., Капустин В. Ф. Математическое программирование. Л.,1981.

2. Ашманов С. А. Линейное программирование: Учеб. пособие. М., 1981.

3. Ашманов С. А., Тихонов А. В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., 1991.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М., 1965.

6. Гавурин М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. Л., 1984.

7. Гасс С. Линейное программирование (методы и приложения). М., 1961.

8. Гейл Д . Теория линейных экономических моделей М., 1963.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. М., 1985.

10. Давыдов Э. Г. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов вузов. М., 1990.

11. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.,1966.

12. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М., 1976.

13. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математические методы исследования операций: Учеб. пособие для вузов. Киев, 1979.

14. Зайченко Ю. П. Исследование операций, 2-е изд. Киев, 1979.

15. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. Единый подход. М., 1973.

16. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М., 1963.

17. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М., 1964.

18. Карманов В. Г. Математическое программирование: Учеб. пособие. М., 1986.

19. Корбут А.А., Финкелыитейн Ю. Ю. Дискретное программирование. М., 1968.

20. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. М., 1977.

21. Кюнце Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.,1965.

22. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.3. Линейное и нелинейное программирование. Киев, 1975.

23. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., 1960.

24. Мухачева Э. А., Рубинштейн Г. Ш. Математическое программирование. Новосибирск, 1977.

25. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М, 1970.

26. Оре О. Теория графов. М., 1968.

27. Таха X. Введение в исследование операций/ Пер. с англ. М.,1985.

28. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.,1972.

29. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М., 1967.

30. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). М., 1969.

31. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. М., 1963.

32. Lapin L. Quantitative methods for business decisions with cases. Fourth edition. HBJ, 1988.

33. Liitle I.D.C., Murty K.G„ Sweeney D.W., Karel C. An algorithm for traveling for the traveling salesman problem. - Operation Research, 1963, vol.11, No. 6, p. 972-989/ Русск. пер.: Литл Дж., Мурти К., Суини Д., Керел К. Алгоритм для решения задачи о коммивояжере. - В кн.: Экономика и математические методы, 1965, т. 1, № 1, с. 94-107.

ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................................................................................................................................ 2

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................................................................................................... 3

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.......................................................................................................................................... 8

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................................................................................. 9

1.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЗЛП И ЕЕ ПЕРВАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ........................................................... 11

1.3. БАЗИСНЫЕ РЕШЕНИЯ И ВТОРАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗЛП..................................................................... 15

1.4. СИМПЛЕКС-МЕТОД........................................................................................................................................................................................ 17

1.5. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД..................................................................................................................................... 26

1.6. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ....................................................................................... 30

1.7. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД................................................................................................................................................... 37

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 42

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 43

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................. 44

2.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ...................................................................................... 44

2.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ................................................................................................... 55

ГЛАВА 3. ТРАНСПОРТНЫЕ И СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ................................................................................................................................ 60

3.1. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ........................................................................................................................ 60

3.2. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ........................................................................................................................................................................................... 66

ГЛАВА 4. ДИСКРЕТНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................... 74

4.1. ТИПЫ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ..................................................................................................................... 74

4.2. МЕТОД ГОМОРИ............................................................................................................................................................................................... 78

4.3. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.......................................................................................................................................................................... 81

ГЛАВА 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ........................................................................................................................... 86

5.1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ................................................................................. 86

5.2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.................................................................................................... 93

ГЛАВА 6. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАЗДЕЛОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ................................................................. 101

6.1. ТЕОРИЯ ИГР...................................................................................................................................................................................................... 101

6.2. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ........................................................................................................................................... 108

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................................................................................................................ 112

«Б.А. Лагоша Оптимальное управление в экономике Учебное пособие Москва 2004 УДК 519.865.7 ББК 65.050 Л 145 Лагоша Б.А. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ: Учебное пособие. / Московский...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования Российской Федерации

Международный образовательный консорциум

«Открытое образование»

Московский государственный университет экономики,

статистики и информатики

АНО «Евразийский открытый институт»

Б.А. Лагоша

Оптимальное управление

в экономике

Учебное пособие

Москва 2004

УДК 519.865.7

ISBN 5-7764-0392-8 © Лагоша Б.А., 2004 © Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Оглавление Предисловие

ГЛАВА 1. ................ 1.1. Некоторые понятия и определения теории множеств и функций

1.2. Оптимизация функций на ограниченном множестве

1.3. Зависимость функции и множества, на котором она максимизируется, от параметра

1.4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1.5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами...... 1.6. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Вопросы и ……………………………......... ГЛАВА 2.

2.1. Система, модель

2.2. Управление. Обратная связь

2.2.1. Общая принципиальная схема управления

2.2.2. Иерархия управления

ГЛАВА 3.

3.1. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель

3.2. Частные случаи

3.3. Однопродуктовая оптимизационная динамическая макроэкономическая модель

3.4. Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики Вопросы для внеаудиторной работы

ГЛАВА 4. Достаточные условия оптимальности

4.1. Вспомогательные математические конструкции

4.2. Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов................ 4.3. Достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов............. 4.4. Обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности

4.5. Непосредственное применение достаточных условий оптимальности к решению задач

4.5.1. Процессы, линейные по управлению, без ограничений на управление. 4.5.2. Процессы, линейные по управлению, с ограничениями на управление Вопросы для внеаудиторной работы

ГЛАВА 5. Однопродуктовая макроэкономическая модель оптимального развития экономики

5.1. Моделирование производства на макроуровне: некоторые свойства производственных функций

5.2. Модель развития экономики: магистральная теория

Вопросы для внеаудиторной работы

ГЛАВА 6. Метод Лагранжа - Понтрягина для непрерывных управляемых процессов

6.1. Уравнения метода

6.2. Принцип максимума Понтрягина

6.3. Принцип максимума как достаточное условие оптимальности

6.4. Задача Эйлера вариационного исчисления

Задачи для внеаудиторной работы

ГЛАВА 7. Метод Лагранжа для многошаговых процессов управления.................. 7.1. Уравнения метода. Условия оптимальности для многошагового процесса с неограниченным управлением

7.2. Условия оптимальности для многошагового процесса при наличии ограничений на управление

Задачи для внеаудиторной работы

ГЛАВА 8. Некоторые применения необходимых условий оптимальности в форме Лагранжа – Понтрягина

8.2. Календарное планирование поставки продукции. Дискретный вариант.

Численное решение

8.3. Оптимальное планирование поставки продукции. Непрерывный вариант.

Численное решение

Вопросы и задачи для внеаудиторной работы

ГЛАВА 9. Метод Гамильтона – Якоби – Беллмана

9.1. Идея и основные элементы

9.1.2. Синтез оптимального управления

9.4. Оптимальное распределение инвестиций между проектами методом динамического программирования

9.5. Сравнительный анализ методов Лагранжа - Понтрягина и Гамильтона - Якоби – Беллмана

Задачи для самостоятельного решения

Краткий словарь терминов

Литература

Предметный указатель

ПРЕДИСЛОВИЕ

Кротовым на кафедре экономической кибернетики в Московском государственном университете экономики статистики и информатики (МЭСИ) и учебное пособие [ 9 ] по расширенному курсу теории оптимального управления (ТОУ). Это пособие давно стало библиографической редкостью, в связи с чем возникла необходимость подготовки данного учебного пособия с учетом накопленного опыта преподавания и происходящих изменений в экономике с учетом новых возможностей использования вычислительной техники.

Из достаточных условий оптимальности с помощью специального выбора функции (t, x) (результат решения дифференциального уравнения Беллмана в частных производных для непрерывных и конечно-разностного - для многошаговых процессов) получаем алгоритмы динамического программирования для непрерывных и дискретных управляемых систем [ 9 ]. Таким образом, разработанные ранее как независимые принцип максимума и метод динамического программирования выводятся через достаточные условия оптимальности В.Ф.Кротова.

ПРЕДИСЛОВИЕ

* для непрерывных процессов, когда оптимальное решение существует в классе допустимых;

* для дискретных (многошаговых) процессов;

* обобщенная теорема для непрерывных процессов, когда оптимальное решение не существует, но находится минимизирующая последовательность допустимых траекторий.

Здесь показана разница между операторами инфинум и минимум, супремум и максимум Исследуется тип задачи с линейно входящим управлением без ограничений и с ограничениями на управление, когда решение (непрерывное или разрывное) достигается путем непосредственного применения достаточных условий оптимальности.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Согласно разработанному алгоритму решения, находится оптимальная траектория управления. При этом в каждый момент времени осуществляется разделение валового национального продукта на инвестиции и непроизводственное конечное потребление. Вводится понятие магистрального режима развития экономики, выявляются его свойства и объясняется содержательный смысл.

Глава 6 посвящена методу Лагранжа - Понтрягина (принципу максимума) для непрерывных управляемых процессов. Как необходимые при выполнении двух требований теоремы о достаточных условиях оптимальности выводятся уравнения метода. Дается комментарий к названию «принцип максимума». При наличии свободных граничных условий на правом конце (при t=T) получаются так называемые условия трансверсальности.

В итоге нахождение оптимального процесса управления сводится к двухточечной краевой задаче для системы 2n дифференциальных уравнений, где n - размерность вектора состояния системы. Рассматривается особый частный случай - классическая задача Эйлера вариационного исчисления.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем учебном пособии использованы переработанные материалы ранее изданных с участием автора публикаций [ 6, 9 ], личный опыт многолетнего преподавания курса ТОУ студентам и преподавателям в системе повышения квалификации, учебнометодические пособия в МЭСИ главным образом для решения задач.

В конце глав приводятся задачи с решениями, вопросы и задачи для самостоятельной работы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ГЛАВА 1. Математический аппарат теории оптимального управления 1.1. Основные понятия и определения теории множеств и теории функций Понятие множества в математике постулируется, чтобы оперировать с некоторыми совокупностями чисел, матриц, функций, других элементов, принадлежащих этим совокупностям. Множества могут быть конечными, бесконечными, пустыми. Конечное множество включает ограниченное число элементов, их можно пересчитать. Бесконечное множество содержит бесконечное число элементов.

Пусть заданы множества X и Y с элементами x X и у Y. Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество Z = X Y, которое включает всевозможные пары = (x; y), где x X, y Y, Z.

Пример 1.1. Пусть даны множества X={x: 0 x 1}; Y= {у: 0 y 1}. Тогда Z = X Y – единичный квадрат: Z={= (x, y) : 0 x 1, 0 у 1} (рис.1.1).

Рис. 1.1. Иллюстрация прямого произведение множеств – единичный квадрат Пусть далее некоторое множество V является подмножеством прямого произведения Z = X Y, это обозначается как V X Y.

На рис. 1.2 изображен случай, когда X и Y – множества всех действительных чисел, Z = X Y – вся координатная плоскость, V – некоторое ограниченное подмножество на этой плоскости.

Проекцией множества V на множество X называется такое множество Vх (см. рис. 1.2) всех элементов x, для которого каждому элементу x Vх можно поставить в соответствие по крайней мере один элемент y Y, так чтобы пара (x, y) V.

Сечением множества V при данном x (рис. 1.2) называется множество Vх всех элементов y Y, каждый из которых в паре с заданным x образует элемент = (x; y) V;

При этом будем обозначать: x Vх, y Vх.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В практике оптимального управления важен частный случай, когда проекция Vх не зависит от x (рис. 1.3) Этот частный случай встретится при изучении в главе 6 алгоритма принципа максимума Понтрягина, где y Vу. В общем же случае имеют место обозначения x Vх, y Vх.

Рис. 1.2. Координатная плоскость с ограниченным на ней подмножеством V Рис. 1.3. Частный случай независимости Vх от x (проекция Vу равна сечению Vх) Функция y = f (x) называется законом отображения множества X (x X) на множество Y (y Y). Функциональная связь f – конкретный вид этого отображения. На множества X и Y в общем случае ограничения не накладываются. Элементами этих множеств моМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ гут быть действительные или комплексные числа, вектора, матрицы, логические переменные и т. д.

Если в функциональной зависимости y = f (x) множество Y – числовая ось или ее отрезок, то такую функцию называют функционалом. Очевидно, что при принятых определениях функционал представляет частный случай функции. Всякий функционал является функцией, но не всякая функция будет функционалом. Поэтому в задачах математического программирования целевую функцию иначе называют функционалом.

В данном случае оба эти понятия эквивалентны.

При изучении ТОУ необходимо понимать разницу между понятиями max и sup, min и inf соответственно.

По определению max f(x) = f(x*), если f(x*) f(x) для x X;

Аналогично min f(x) = f(x*), если f(x*) f(x) для x X;

Пример 1.2. Найти max f(x) и min f(x), если f(x)=2x2, рис.1.4.

Если сказать, что 1 = arg max f(x), а 0 = arg min f(x), то ответ будет неверным, т.к. ни x = 0, ни x = 1 не принадлежат допустимой области 0 x 1. Если в качестве аргумента максимума f(x) принять некоторое близкое к единице значение x = 1–, где – положительное малое число, то ответ также будет неверным, ибо можно взять значение x = 1– более близкое к единице, при этом будет f(1 – значения x = 1 –, то вновь можно будет взять число x = 1 –, при котором

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

) f(1–) и т.д. Таким образом, получается бесконечная последовательность знаf(1– чений f(1 –) f(1 –) f(1 –)..., стремящаяся к f(1) = 2.

Подобную последовательность называют максимизирующей, а значение f(1) = 2= sup f(x), 1= arg sup f(x).

Аналогичное рассуждение можно провести в окрестности точки x = 0, получив при этом минимизирующую последовательность f() f() f()...0:

чений x X для функции f(x), то инфинум совпадает с минимумом f(x), а супремум – с максимумом f(x). Таким образом, инфинум и супремум для некоторой функции могут существовать тогда, когда минимум или максимум не существуют. Другими словами, понятия инфинума и супремума более общие, чем минимума и максимума.

Рис. 1.5. Функция y= tg x, для которой при |x| не существует ни минимума, ни максимума, Нетрудно, однако, привести пример, когда для функции на заданном множестве не существуют ни минимум, ни максимум, ни инфинум, ни супремум (рис.1.5).

Таким образом, если минимум или максимум функции, заданной на некотором множестве, не существует, то инфинум или супремум могут существовать, но это не означает, что последние существуют всегда. Пример, показанный на рис. 1.5, это иллюстрирует.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

1.2. Оптимизация функций на ограниченном множестве Пусть при x [ a, b] задана непрерывная функция f(x). Требуется найти max f(x).

Для решения этой задачи вначале необходимо найти стационарные точки функции f(x), т.е. такие, в которых =0 (множество стационарных точек обозначим через X, услоdx вие X означает, что [ a, b]). Поскольку = 0 – необходимое условие локального экстремума, отвечающее и минимуму, и максимуму, следует установить в каждой стационарной точке характер экстремума. Если в стационарной точке кроме того, сущестd 2x d 2x ется локальный максимум, а при 0 – локальный минимум. При характере локального экстремума, если он в ней существует, следует судить по знаку отличной от нуля производной более высокого порядка.

ный экстремум в ней не достигается.

x – h и 0 при x – h, где h – достаточно малое положительное число, то – точка локального максимума. Если точка локального минимума.

то – точка перегиба. В этой точке меняется выпуклость функции, а экстремум в ней не достигается.

Таким образом, среди всех стационарных точек k X одним из указанных выше способов можно установить точки локальных максимумов.

Пусть это будут точки 1,..., m. Добавим к ним граничные точки x=a и x=b и определим max f(x) на множестве x Z., где Z= { 1,..., m, a, b }.

Точка x* Z, в которой достигается максимальное значение f(x), как уже говорилось в разделе 1.1, обозначается x* = arg max f(x).

Если необходимо найти не maxf(x), а minf(x), все сказанное выше остается в силе по отношению к функции (x) = –f(x): операция minf(x) эквивалентна операции max [ f (x)].

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Монотонная при x Z функция f(x) (т.е. такая, для которой 0, – в том числе и линейная) достигает максимального значения только на границе. При этом если при x Z, то b = arg max f(x); если 0, то a = arg min f(x).

1.3. Зависимость функции и множества от параметра В каждой теме курса ТОУ будет встречаться более сложная, чем рассмотренная в разделе 1.2, задача: найти max f(x, t), где t – параметр, x – аргумент, x X(t), t.

Предполагается, что функция f(x,t) – непрерывная по x, где – множество допустимых значений параметра t.

Логика решения в принципе та же, что и рассмотренная в разделе 1.2., только результаты будут зависеть от параметра t.

В самом деле, зафиксируем значение параметра t, задав t =. Тогда функция f(x,t) и множество допустимых значений x станут только функциями аргумента x:

Задачу max(x) при x , если этот максимум существует, можно решить, следуя методам, изложенным в разд. 1.2. Если этот максимум существует при, можно записать Придавая параметру t последовательно фиксированные значения 2, 3,..., однотипным образом будем получать x*(2), x*(3),... Остается по точкам построить график функции x*(t)= arg max f(x, t) (рис. 1. 6).

Однако такой метод не всегда приемлем на практике. Во-первых, он трудоемкий, если принять во внимание достаточно большое число фиксированных значений t1, t2,...

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Во-вторых, построение графика функции x*(t) по точкам не всегда может оказаться точным, поскольку между любыми двумя точками она может обладать какими-либо особыми свойствами, не выявленными при построении графика по точкам.

Точнее и проще максимизировать функции, исходя из их аналитических свойств, что будет показано на следующих примерах.

Пример 1.3. Максимизировать функцию f(x, t) = tx; 0 x t2; t 1.

В данном случае функция f(x,t) линейна по x. Следовательно, при t 0 она стационарных точек не может иметь, и максимум достигается на границе: либо в точке x = 0, либо при x = t2. Вычислим значения f(x, t) в этих точках и сравним их при различных значениях t:

При t 0 f(0, t) f(t2, t), так как t3 0. Следовательно, при t 0 максимальное значение функции f(x, t) достигается в точке x* = 0.

При t 0 f(0, t) f(t2, t), так как t3 0. Поэтому максимальное значение функция f(x, t) достигает в точке x* = t2. Наконец, в случае t = 0 f(x, t) = 0, причем существует лишь одно допустимое значение x*= 0 (0 x t2=0). Следовательно, оно и будет точкой максимума функции f(x, t) при t = 0. Как видно, случай t = 0 охватывается обоими условиями.

Все рассмотренные случаи объединяются в одну результирующую формулу:

Пример 1.4. Найти максимум функции f(x, t)=tx2+2x; x 1; t 1.

Функция f(x, t) представляет параболу, ориентированную ветвями вниз при t 0 и ветвями вверх, если t 0. При t = 0 f(x, 0)=2x – линейная функция, и максимум достигается на правой границе x*(0) = 1. Рассмотрим случаи – 1 t 0 и 0 t 1.

При t 0 вершина параболы xB(t) – точка безусловного максимума функции – опf ределяется из необходимого условия =2tx + 2 = 0, откуда xB(t) = –1/t. Значение функx ции f(x, t) в вершине параболы равно В результате семейство парабол, отвечающее случаю –1 t 0, будет иметь вид, представленный на рис.1. 7.

При всех значениях –1 t0 максимальное значение функции f(x,t) при x 1 достигается в точке x*(t)=1 (границы x=–1 и x=1 на рис. 1.7 отштрихованы).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Данный вывод может быть получен и аналитически. Действительно, имеется одна стационарная точка – вершина параболы: xВ(t) = –. При –1 t 0 xВ(t) 1, причем xВ(1) = 1 только для крайнего значения t=–1. Следовательно, при –1 t 1 функция f(x, t) монотонно возрастает, достигая максимума в граничной точке x*(t) = 1.

Рассмотрим теперь случай 0 t 1: парабола f(x, t)=tx2+2x ориентирована ветвями вверх (рис. 1.8).

В стационарной точке xВ(t)=– достигается абсолютный минимум функции f(x,t).

Следовательно, максимум по x при условии x 1 достигается только в граничных точках

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

x = ± 1. Определим точку максимума путем прямой подстановки значений x = ±1 в выражение f(x,t)=tx2 + 2x, f(1, t) = t + 2, f(–1, t) = t – 2.

Из полученного результата f(1,t) f(–1, t) вытекает, что x*(t)=1 при 0 t 1. Таким образом, для всех рассмотренных случаев получаем:

Пример 1.5. Вычислить максимальное значение функции f(x,t) = –x2 + 2tx; 0 x 2;

В данном примере функция f(x, t) представляет параболу, ориентированную ветвями вниз при любых значениях t, так как коэффициент при x2 отрицательный и не зависит от t. При различных значениях t возможны три случая ориентации параболы изображенные на рис.1.9.

Рис. 1. 9. Возможные случаи ориентации параболы относительно области допустимых значений x 1) максимальное значение этой функции достигается в точке x*(t) = xВ(t), если xВ(t) лежит в допустимой области изменения x (эта область 0 x 2 отштрихована);

2) 2)максимальное значение достигается на правой границе (в точке x* = 2), если значение xВ(t) лежит правее правой границы;

3) 3)максимальное значение достигается на левой границе (в точке x* = 0), если значение xВ(t) лежит левее левой границы.

Переведем сказанное выше на язык математических соотношений. Абсциссу верf f сем функцию xВ(t) = t – след вершины параболы при изменении t на координатную плоскость (t, x), допустимые изменения аргумента x и параметра t отштрихованы (рис. 1.10.).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рис. 1.10. След вершины параболы и оптимальное решение в системе координат (t, x) При 0 t 2 абсцисса вершины параболы xВ(t) лежит в допустимой, отштрихованной области 0 x 2. При 0 x 2 x*(t) = t, при 1 t 2 x*(t)=2. При –2 t 0 след вершины параболы лежит ниже нижней границы x = 0, это дает нам x*(t) = 0 (см. рис. 1.10.).

В дальнейшем мы наиболее часто будем встречаться (для учебного процесса этого достаточно) именно с функциями f(x, t), подобными рассмотренным выше, т.е. с линейными по x, а также представляющими по x параболу, ориентированную ветвями вверх или вниз.

Для линейной по x функции f(x,t)=A(t)x + B(t), где a(t) x b(t), как следует из вышеизложенного максимум достигается в точке x*(t), заданной формулой Если f(x,t) – парабола, ориентированная ветвями вверх, максимум достигается только на границе. При этом исследование стационарных точек оказывается излишним.

Если f(x,t) – парабола, ориентированная ветвями вниз, максимум достигается в точке:

1.4. Дифференциальные уравнения первого порядка Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка имеет решение x=x(t), удовлетворяющее начальному условию x(t0)=x0, если функция f(x, t) непрерывна в некоторой окрестности точки (t0,x0).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Точнее, если функция f(x, t) непрерывна в открытой области D (не включая границу этой области) и в ней выполняется условие Липшица где M – некоторая положительная константа, то дифференциальное уравнение (1.1) при любом начальном условии x(t0)=x0 (где точка (t0, x0) D) имеет единственное решение, определенное в области D (теорема существования и единственности решения для задачи Коши).

Достаточным условием выполнения формулы Липшица (1.2) является ограниченf ность в области D частной производной.

Если функцию f(x, t) можно представить в виде f(x, t)= = 1, то в уравнении (1.1) переменные разделяются и его можно переписать следующим образом:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

где С – произвольная постоянная интегрирования.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1.6. Решить уравнение при заданном начальном условии: = tx; x(0) = 4.

Разделение переменных дает: =tdt. Интегрируя левую и правую части соответственно по x и по t, получаем Вместо произвольной постоянной C в общем решении (1.3) введем lnC (так будет легче потенцировать), т.е. если C – произвольная постоянная, то и lnC – произвольная постоянная. Потенцирование дает более компактный вид Произвольная постоянная C в (1.4) определяется из начального условия x(0)=4, что дает C = 4.

Решение задачи Коши, удовлетворяющее начальному условию:

Пример 1.7. Решить уравнение дает:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

После интегрирования левой части по x, а правой по t получаем: arc tg x = sin t + C, откуда x(t) = tg (sin t + C).

Обращаясь к начальному условию x(0) = 1, получаем 1 = tg C, откуда C=. Следовательно, решение задачи Коши:

1.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами разработана для произвольного порядка n, однако в курсе ТОУ уравнения более высокого порядка, чем второй, нам не потребуются. Этим и объясняется указанный выбор.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида где a, b и с – постоянные коэффициенты.

Если функция f (t) 0, уравнение (1.5) называют неоднородным, при f (t) 0 – однородное дифференциальное уравнение.

В случае a 0 выражение (1.5) – второго порядка. Более высокие порядки при изучении ТОУ нам не потребуются. Решение уравнения (1.5), включающее две произвольные постоянные и правую часть f (t) 0, называют общим решением однородного уравнения.

Обозначим его x1(t). Частное решение неоднородного уравнения – это любое решение уравнения (1.5) при f (t) 0. Обозначим его x2(t).

Общее решение x(t) неоднородного дифференциального уравнения (1.5) состоит из суммы общего решения однородного уравнения x 1 (t) и частного решения x 2 (t) неоднородного уравнения:

Две произвольные постоянные в общем решении однородного уравнения x 1 (t) опdx ределяют, задав либо начальные условия: при t=t0 x(t0)= x0, = x1 (задача Коши); либо краевые: x(t0)= x0, x(t1)=x1(двухточечная краевая задача).

Общее решение однородного уравнения x1(t) определяется корнями характеристического уравнения Рассмотрим возможные при этом случаи.

1. Корни p1 и p2 характеристического уравнения (1.7) действительные и разные (p1 p2). При этом где C1 и C2 – произвольные постоянные.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

2. Корни p1, p2 действительные и равные: p1= p2 = s. Тогда 3. Корни p1, p2 комплексно сопряженные: p1, p2= j ± ig, где j и g – действительные числа, i – мнимая единица, i2= – 1. Данному случаю отвечает решение:

Применительно к дифференциальному уравнению (1.5) значения x1(t) в указанных трех случаях исчерпывают все возможные варианты общего решения однородного уравнения. Вид частного решения неоднородного уравнения x2(t) зависит от правой части уравнения (1.5) и представляется в аналитической форме лишь для определенных частных случаев функции f (t).

1) правая часть уравнения (1.5) – многочлен степени m:

где a0, a1,..., am – заданные коэффициенты.

При этом x2(t) также ищем в виде многочлена степени m Коэффициенты 0, 1,..., m подлежат определению, для чего в левую часть уравнения (1.5) подставляют выражение типа (1.12), а в правую часть – выражение (1.11). После двойного дифференцирования (1.12), подстановки и приведения подобных членов в левой части уравнения (1.5) в обеих его частях получают многочлены степени m. Для того чтобы эти многочлены тождественно совпадали при любых значениях t, должны совпадать их коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях уравнения (1.5). Приравнивая слева и справа коэффициенты при свободных членах и множителях t, t2,..., tm, получим m+1 алгебраических уравнений для определения m+1 коэффициентов 0, 1,..., m. Тем самым оказывается полученным частное решение неоднородного уравнения x2(t).

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1.5) определяется по формуле (1.6).

2) функция f(t) – экспоненциальная:

В зависимости от корней характеристического уравнения (1.7) возможны различные варианты задания x (t):

а) пусть корни p и p2 не совпадают с величиной: p1, p2. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде x2(t) = A e t, где величина A подлежит определению. Выполняя действия, аналогичные предыдущему пункту 1.11 и приравнивая в уравнении (1.5) множители при e t в левой и правой частях, получим значение A б) корни p1 и p2 действительные и разные, и величина равна одному из них, например, = p 0in. Тогда x2(t) ищем в виде x2(t) = At et. После аналогичных указанных выше вычислений, приравнивая в левой и правой частях уравнения (1.5) множители при et и приводя подобные члены, получим

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

в) корни p1 и p2 действительные и равные и их значения совпадают с величиной:

Тогда x2(t) ищем в виде x2(t) = At2et. Подобно приведенным выше случаям, учиC тывая что – корень характеристического уравнения (1.7), получаем: A =.

3) правая часть в уравнении (1.5) имеет вид:

где A, B, – заданные числа.

Если корни характеристического уравнения (1.7) p1, p2 действительные или комплексно сопряженные p1, p2= ± i, при этом либо 0, либо = 0, но, x2(t) ищется в виде x2(t)= C cos t + D sin t, коэффициенты C и D подлежат определению, которое выполняется в принципе по той же схеме, что и в предыдущих случаях, а затем в левой и правой частях дифференциального уравнения (1.5) приравниваются коэффициенты при cos t и sin t. В результате получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными C и D:

определитель которой равен (c – a2)2+(b)2.

Как следует из решения характеристического уравнения (1.7), Если 0, то b 0 и при любом значении 0 определитель системы (1.15) положительный (важно даже, чтобы он был просто отличным от нуля).

вательно, и в этом случае определитель системы (1.15) положительный и коэффициенты C и D вычисляются однозначно.

Если правая часть дифференциального уравнения (1.5) f(t) является линейной комбинацией рассмотренных выше функций, то каждому входящему в f(t) слагаемому будет отвечать своя часть x2(t), которая определяется одним из указанных выше способов.

Пример 1.8. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями:

Составляем характеристическое уравнение

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Нахождение частного решения неоднородного уравнения x 2 (t) должно осуществляться в соответствии с рассмотренными выше правилами (1.11)и (1.14), на основании чего имеем:

Здесь коэффициенты C, D, E и F подлежат определению.

Вычисляя первую и вторую производные от x 2 (t), подставляя их в исходное уравнение (1.5) и приравнивая в левой и правой частях множители при t, cos t, sin t и свободные члены, получаем систему из четырех линейных алгебраических уравнений:

Решение этой системы:

В дифференциальном уравнении (1.5) с учетом начальных условий (1.17) определяются две произвольные постоянные интегрирования в общем решении однородного уравнения x1(t), вследствие чего имеет место результат решения задачи Коши (1.16) и (1.17):

В задачах ТОУ с применением принципа максимума Понтрягина, как будет показано в разд. 6.2, необходимые условия оптимальности сводятся не к задаче Коши, а к двухточечной краевой задаче. Для рассматриваемого дифференциального уравнения (1.16) вместо второго начального условия (1.17) примем краевое условие После соответствующих подстановок с использованием первого начального условия (1.16) и краевого условия (1.19) получим решение поставленной краевой задачи:

Как видим, разница в решениях задачи Коши и краевой задачи определяется только множителем e /2 во втором слагаемом, но это, вообще говоря, зависит от конкретного вида краевого условия типа (1.19). При другом условии результаты решений задач могли быть совершенно различными.

Сопоставление методов решений в двух рассмотренных вариантах (для задачи Коши и для краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами) указывает практически одинаковую их трудоемкость. Причем такой же вывод можно сделать и для задач большей размерности. Это справедливо, если общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений может быть получено в аналитической форме. Однако для произвольных типов дифференциальных уравнений возможность получить общие решения в аналитической форме ограничена – это скорее исключение, чем правило. Поэтому пеМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ рейдем далее к рассмотрению задачи численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с выделением при этом задач Коши и двухточечных краевых задач.

1.6. Численное интегрирование систем обыкновенных Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений n-го порядка в нормальной форме c начальными условиями Для численного интегрирования задачи Коши (1.20) и (1.21), при условии существования и единственности решения (см. раздел 1.4), известен ряд методов: одношаговые Эйлера и Рунге-Кутта с модификациями, многошаговые типа Адамса, Димсдейла, Хемминга и др. Ограничимся наиболее простым из них – методом Эйлера.

Метод заключается в приближенном представлении производных и в переходе от системы дифференциальных уравнений (1.20) к системе конечноразностных уравнений с начальными условиями (1.21).

Рассматриваемый метод характеризуется накоплением ошибок в процессе вычислений по мере удаления от начальной точки t = 0; его точность повышается при уменьшении конечной величины t. На практике этот метод можно применять, используя ЭВМ и полагая при этом величину t достаточно малой.

Метод численного интегрирования (прямой прогонки) для двухточечной краевой задачи представляется следующей расчетной схемой.

Примем постановку задачи в виде:

К краевым задачам такого типа в теории оптимального управления сводятся задачи на применение необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Вместо краевой задачи (1.23) – (1.25) решаем задачу Коши с заданными начальными условиями (1.24) для n переменных, а последующим n неизвестным начальным значениям переменных присвоим произвольные значения

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Решение задачи Коши (1.23), (1.24) и (1.26) будет зависеть от n произвольных значений (1.26). Если данную зависимость удастся выразить аналитически (это возможно, если система дифференциальных уравнений (1.23) аналитически разрешима), то в результате будем иметь систему n алгебраических уравнений Если из системы (1.27) удастся определить установленные ранее как произвольные n величин x n+1,0, x n+ 2,0,..., x 2 n,0, получим решение краевой задачи (1.23) – (1.25). Решение алгебраической системы уравнений (1.27) – точное или приближенное – будет отвечать точному или приближенному решению краевой задачи (1.23) – (1.25).

В случае численного интегрирования задачи Коши (1.21), (1.22) приближенный характер решения краевой задачи (1.23) – (1.25) будет зависеть от выбора приближенного метода численного интегрирования задачи Коши.

Однако при достаточно сложной структуре системы уравнений (1.20) и большом числе обращений к формуле (1.22) в процессе численного решения задачи Коши при использовании ЭВМ получить аналитическую зависимость не представляется возможным.

В данном случае недостающим начальным условиям (1.25) придаются произвольные числовые значения и вместо точных формул вычисляем величины x l (T), которые будут зависеть от произвольных числовых значений x n+1,0, x n+ 2,0,..., x 2 n,0. В общем случае считать, что вычисленные значения x1(T) будут совпадать с заданными x il, l=n+1, n+2,..., 2n, разумеется, нет никаких оснований. Поэтому на следующей итерации численного интегрирования задачи Коши принимаются новые значения x n+1,0, x n+ 2,0,..., x 2 n,0, и т.д.

до приемлемого на практике расхождения. Для этого можно, например, использовать оценку где – заданный показатель точности.

Изложенный метод прямой прогонки трудоемок в вычислительном отношении, и его реализация на практике возможна только с использованием ЭВМ. В ТОУ он находит применение во многих приложениях, где требуется решать краевые задачи.

Из применяемых на практике пакетов прикладных программ можно рекомендовать MathCAD, MathLab, Mathematica, Mapl, Derive, Statistica, программную систему Eurika.

Подробнее см. в . Там же имеется дополнительный список литературы.

1. Объяснить основные понятия теории множеств: конечные, бесконечные, пустые множества, принадлежность элементов множеству, прямое произведение, проекции и сечения множеств.

2. Сформулировать различие между функцией и функционалом. Какое из них более 3. Дать определения и показать на примерах смысл математических понятий max, sup, min, inf. Приведите примеры, уточнить отношения общности.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Найти оптимальный аргумент x*(t), максимизирующий функцию f(x, t) по x при всех допустимых значениях параметра t. Построить график функции x*(t):

Найти решения задач Коши для уравнений с разделяющимися переменными:

Найти решения задач Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

19. 1 = 2x1+ x2+ t2 + 1;

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ГЛАВА 2. Основы моделирования экономических процессов Объектами применения ТОУ являются управляемые системы, описываемые дифференциальными или конечно-разностными уравнениями соответственно для непрерывных или дискретных (многошаговых) процессов. Понятия и определения: система, модель, обратная связь, внешняя среда, замкнутая и разомкнутая система, существенные или несущественные факторы, обусловленные целевой ориентацией при изучении объекта исследования, – это понятийный аппарат основ управления, и, в частности, ТОУ.

Принимая во внимание, что учебное пособие, кроме специальности 08.00.16 “Математические методы в экономике”, может использоваться и при подготовке специалистов по менеджменту, прикладной информатике и другим дисциплинам, где курс математического моделирования экономики специально не читается, данный раздел может рассматриваться как вводный, отражающий содержательную сущность и формализованное представление понятий и принципов формирования структур систем управления. Так как речь идет именно об общих принципах и понятиях, то и примеры заимствуются из различных областей, начиная с физического движения материальной точки и кончая характеристиками сложных производственно-экономических систем. Разумеется, поскольку учебное пособие рекомендуется прежде всего для экономистов, последние доминируют.

Наблюдение, анализ и моделирование являются средствами познания и прогнозирования процессов, явлений и ситуаций во всех сферах объективной действительности.

Говоря, например, о системах застройки города или района, кровообращения, управления предприятием, системе уравнений, прежде всего имеют в виду некую совокупность. Но любая ли совокупность может быть названа системой? Вряд ли кто назовет системами совокупность выброшенных старых вещей или луж на асфальте после дождя.

Ни то, ни другое никак не упорядочено, не отвечает определенной цели, в соответствии с которой эта совокупность сформирована. Первое свойство систематизации, системного представления о рассматриваемом объекте – это наличие цели, для реализации которой предназначается данная совокупность предметов, явлений, логических представлений, формирующих объект. Цель функционирования системы редуцирует системные признаки, с помощью которых описываются, характеризуются элементы системы.

Например, допустим, что целью является реструктуризация системы управления предприятием (фирмой) на ординарном уровне. Нужно ли для этого знать фамилии и размеры зарплаты каждого работника? Нет, так как эти данные хотя в своей совокупности в большей или меньшей степени влияют на режим управления, но не являются наиболее важными на персональном уровне. Выделим существенные системные признаки. К ним относятся: рыночный спрос на продукцию производителя и число наименований выпускаемой продукции, производственные мощности предприятия по выпуску продукции различных наименований и аналогичные показатели предприятий-конкурентов, обеспеченность материальными, трудовыми ресурсами, общий фонд заработной платы и условия ее использования и т.д. Особо следует выделить “узкие места”. К ним относятся факторы и условия, сдерживающие повышение эффективности производства. Сущностью системы управления предприятием, отражения условий управляемости последним является установление и описание взаимосвязей и взаимозависимостей между наиболее существенными факторами и характеристиками предприятия. Еще раз подчеркнем, что речь идет о предприятии (фирме) как производственно-экономической системе позиций управляемоОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ сти им, т.е. предприятие рассматривается как объект управления. Именно исходя из этого и определены существенные признаки объекта. При изменении цели могут стать другими как существенные признаки, так и связи с внешней средой. Например, если на том же предприятии будут анализироваться уровень квалификации работников и организация оплаты их труда, то ведомость на получение заработной платы, ранее не представлявшая первостепенного значения, станет теперь основным документом.

Таким образом для выделения системы требуется наличие:

a) цели, для реализации которой формируется система;

б) объекта исследования, состоящего из множества элементов, связанных в единое целое важными относительно цели системными признаками;

в) субъекта исследования (“наблюдателя”), формирующего систему;

г) характеристик внешней среды по отношению к системе.

Наличие субъекта исследования и возможная неоднозначность, субъективность при выделении существенных системных признаков вызывают значительные трудности в процессе выделения системы и соответственно ее универсального определения. Поэтому необходим более подробный системный анализ .

Изложенный выше вербальный подход дает возможность определить систему как упорядоченное представление об объекте исследования относительно поставленной цели.

Упорядоченность заключается в целенаправленном выделении системообразующих элементов, установлении их существенных признаков, характеристик взаимосвязей между собой и с внешней средой. Системный подход, формирование систем позволяют выделить главное, наиболее существенное в исследуемых объектах и явлениях; игнорирование второстепенного упрощает, упорядочивает в целом изучаемые процессы. Для анализа многих сложных ситуаций такой подход важен сам по себе, однако, как правило, построение системы служит предпосылкой для разработки или реализации модели конкретной ситуации.

Описанный подход предполагает ясность цели исследования и детерминированное к ней отношение всех элементов системы, взаимосвязь между ними и с внешней средой.

Такие системы называют детерминированными. Это не означает, что все предпосылки, лежащие в основе их построения, на практике выполняются. Однако во многих случаях, и это характерно для экономики, цель исследований – изучение и анализ природы усредненных и устойчивых в среднем показателей. Это определяет детерминированный подход к построению системы.

Перейдем к рассмотрению сущности понятий модель и моделирование .

Слово “модель” (фр. “modele”) имеет несколько значений: образцовый экземпляр какого-либо изделия; вид, тип конструкции (например, автомобиля); материал, натура для художественного произведения; копия, воспроизведение предмета, обычно в уменьшенном размере; исследуемый объект, представленный в наиболее общем виде.

В качестве примеров моделей можно привести глобус как модель земного шара, карту как модель местности, маленькую, например, настольную модель самолета, внешне подобную своему натуральному образцу, и т.д.

Однако, по настольной модели самолета нельзя определить его прочностные, аэродинамические характеристики, характеристики системы управления. Следовательно, для реализации названных целей данная модель не годится. Эта модель подошла бы, если бы наша цель была – добиться внешнего подобия. Таким образом, и это главное, структура и свойства модели зависят от целей, для достижения которых она создается. В этом органическое единство системы и модели. Если неизвестна цель моделирования, то неизвестно и с учетом каких свойств и качеств надо строить модель.

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Следовательно, модель – это формализованное представление об объекте исследования относительно поставленной цели.

Модели можно различать по характеру моделируемых объектов, сферам приложения, глубине моделирования. В зависимости от средств моделирования выделяются материальное (предметное) и идеальное моделирование.

Материальное моделирование, основывающееся на материальной аналогии моделируемого объекта и модели, осуществляется путем воспроизведения основных геометрических, физических, других функциональных характеристик изучаемого объекта. Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование, по отношению к которому, в свою очередь, частным случаем является аналоговое моделирование. Оно основано на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Пример аналогового моделирования – изучение механических колебаний с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Так как эксперименты с электрической системой обычно проще и дешевле, она исследуется в качестве аналога механической системы (например, при изучении колебаний мостов).

Идеальное моделирование отличается от материального принципиально. Оно основано на идеальной, или мыслимой, аналогии. В экономических исследованиях это основной вид моделирования. Идеальное моделирование, в свою очередь, разбивается на два подкласса: знаковое (формализованное) и интуитивное моделирование. При знаковом моделировании моделями служат схемы, графики, чертежи, формулы. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами логико-математических построений.

Интуитивное моделирование (например, рисковых ситуаций ) встречается в тех областях науки, где познавательный процесс находится на начальной стадии или имеют место очень сложные взаимосвязи. Такие исследования называют мысленными экспериментами. В экономике в основном применяется интуитивное моделирование; оно описывает практический опыт исполнителей и руководящих работников.

2.2. Управление. Обратная связь. Замкнутая система Введенные в разделе 2.1 понятия не дают возможности разделить системы на управляемые и неуправляемые. В широком смысле под управлением понимается конкретная организация тех или иных процессов для достижения намеченных целей. Управляемая система призвана обеспечивать целенаправленное функционирование при изменяющихся внутренних или/и внешних условиях. Неуправляемой системе целенаправленное функционирование не свойственно.

Примеры управляемых систем: движение автомобиля, работа предприятия в соответствии с договорами, планами и стимулами. Примеры неуправляемых систем: движение ветра, работа светофора с точки зрения автомобилистов (переключается автоматически независимо от состояния потока). В системе, структура которой установлена ее целевой ориентацией (для решения каких задач создается система), управление сводится к поддержанию расчетных значений выходных параметров при отклонениях внешних условий и внутренних параметров от расчетных.

В экономической системе выбор и формирование как структуры, так и способа функционирования являются задачами управления, обеспечивающими динамику ее развития. Однако соотношение типов задач – формирование или реструктуризация производства и способа функционирования системы – различно на разных уровнях иерархии управления.

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Любое управление предполагает наличие объекта управления (управляемой системы), субъекта управления (управляющей системы) и внешней среды.

Объект управления производит те или иные действия для реализации намеченных целей. Его сложность зависит от количества входящих в него элементов и природы взаимосвязей между ними. В процессе функционирования объект управления подвергается воздействию внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению намеченных целей: благоприятная или неблагоприятная рыночная конъюнктура, сложившиеся цены, действия конкурентов и т.п.

Основное назначение управляющей системы – поддерживать установленный и по каким-либо свойствам признанный нормальным режим работы объекта управления, а также обеспечивать нормальное функционирование отдельных элементов объекта управления в условиях воздействия внешней среды.

Объект управления во взаимодействии с управляющей системой – субъектом управления образует замкнутую систему управления – упрощенный вариант которой приведен на ис. 2.1, где Х – вектор воздействия внешней среды на объект управления; Y – вектор реакции на воздействие X. Связь, с помощью которой управляющая система – субъект управления – воздействует на объект управления, если эта связь имеется, называется обратной связью. Входным сигналом для обратной связи служит выходной сигнал системы Y. Если этот сигнал не соответствует целям управления замкнутой системой, то управляющая система вырабатывает воздействие обратной связи X, которое вместе с сигналом X поступает на вход объекта управления (X, Y, X – векторы соответствующих размерностей).

Рис.2.1. Схема замкнутой системы управления (упрощенный вариант) В правильно работающей с точки зрения поставленной цели системе сигнал X + X должен способствовать улучшению качества функционирования замкнутой системы управления.

Количественные оценки степени достижения цели в модели управления даются в виде значений функционала (целевой функции), а условия, в рамках которых функционирует система, – в виде ограничений модели. Цель оптимального управления – нахождение наилучшего относительно принятой целевой функции критерия оптимизации. Для конкретных ситуаций при выборе способа управления, хозяйствования или ведения деятельности он реализуется в виде экстремального значения функционала.

Обратная связь является средством гибкого управления, когда конкретное управляющее решение вырабатывается в зависимости от сложившейся ситуации – возмущения установленного функционирования системы.

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

При отсутствии обратной связи (упомянутый выше светофор) движение регулируется по заранее заданной программе независимо от фактических потоков автомобилей, т.е. состояния системы на выходе. Другие примеры управления без обратной связи: уставы, кодексы инструкции и наставления. При этом может оказаться, что управленческое решение, принятое согласно одному из указанных регламентирующих документов, с учетом конкретной ситуации, характеризующей состояние системы на выходе, когда решение было принято, не является наилучшим по сравнению с другими возможными. Но оно тем не менее считается обязательным, правомочным, так как отвечает регламентирующему документу. Подобные случаи порождают порой ситуации, когда, как говорят, возникает альтернатива – принять решение “ по закону” или “по совести”. Решение “по совести” может отражать учет неординарных обстоятельств, уводящих в сторону от решения “по закону”.

В каких случаях система управления создается с обратной связью, а в каких – без нее, зависит прежде всего от целей функционирования системы.

Итак, в структуре системы управления можно выделить:

Объект управления – непосредственное устройство, агрегат, организационная подсистема общей системы, в которой реализуется цель функционирования всей системы;

Субъект управления – управляющую систему, которая фиксирует параметры объекта управления и вырабатывает при необходимости управляющие воздействия на объект управления для приведения его функционирования к режиму, который в соответствии с целью управления принято считать нормальным. Если достижение такого режима в условиях имеющихся ресурсов системы невозможно, то в качестве нормального может быть принят режим, отклоняющийся от желаемого минимально;

Обратную связь – объект, подсистема, с помощью которой реализуется воздействие субъекта на объект управления.

Эти элементы, формирующие в совокупности замкнутую систему управления, находятся под воздействием внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению целей системы.

Представленное описание замкнутой системы управления весьма схематично и отражает только принцип ее построения. В действительности каждый из указанных элементов, в свою очередь, может включать объект, субъект управления с обратной связью или без нее, вся система будет иметь, таким образом, иерархическую структуру. Подобное характерно для экономических систем прежде всего. Например, в системе управления крупной фирмой отраслевого профиля (например, автомобильный или нефтяной гигант) в качестве объекта управления рассматривают подведомственные фирмы и дочерние предприятия, а управляющего органа – центральный аппарат. Обратная связь при этом осуществляется через систему учета, контроля и оперативного управления в отношении подведомственных предприятий. Каждое предприятие, являясь, таким образом, объектом управления, в свою очередь, представляет замкнутую систему под воздействием внешней среды – вышестоящего уровня управления со всеми необходимыми структурными элементами. Объект управления – цехи, производственные участки;

управляющая система – дирекция предприятия со своими службами; обратная связь осуществляется также через систему учета, контроля и оперативного управления со стороны руководства предприятия.

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Если спускаться по этой иерархической лестнице, то по аналогичной схеме можно рассмотреть систему управления цехом. В рамках крупных производственных комплексов (возможно, и международного уровня) такие иерархические структуры могут быть многоступенчатыми.

2.3. Экономическая система как объект управления (некоторые аспекты математического моделирования) Изложенное выше относится к характеристике систем управления практически любой природы – экономической, физической, производственно-технологической. Теоретические методы оптимального управления, которые будем изучать в следующих разделах, также не слишком связаны с природой системы или со спецификой объекта управления, скорее они ориентированы на определенную форму модели. Для показа широких прикладных возможностей изучаемых методов ТОУ будут приведены различные примеры с преобладанием, однако, экономических задач. С учетом этого рассмотрим наиболее существенные характеристики экономических систем как объектов управления.

Экономическая система охватывает параметры и характеристики производства, распределения, обмена и потребления материальных благ. Функционирование экономических систем, за исключением, может быть, простейших случаев, по своей сущности многокритериально. Это означает, что в процессе функционирования предприятия одновременно ставятся цели добиться максимально возможных прибыли и выпуска продукции в натуральном или стоимостном выражении, выдержать необходимые потребителю ее номенклатуру или ассортимент, уровень качества, снизить удельную себестоимость и т.д.

Некоторые из этих показателей могут быть противоречивыми. Например первый и последний. Стремление к максимальному валовому выпуску продукции (в стоимостном или натуральном выражении) одновременно ведет и к валовому росту себестоимости. Иначе быть не может, так как производство каждого дополнительного изделия сопряжено с дополнительными затратами, т.е. чем больше выпускается продукции, тем больше становится и суммарная себестоимость производства. Ограничение такой себестоимости – противоположное требование к росту выпуска продукции. Минимизировать себестоимость производства имеет смысл только тогда, когда точно установлен необходимый для реализации (например, по договорам) объем производства. Подобные противоречия могут иметь место и в отношении других частных критериальных показателей. В целом можно представить себе одну из двух альтернатив: либо все принимаемые в расчет частные критериальные показатели ведут себя качественно сходным образом, достигая одновременно своих экстремальных значений, либо не существует такого возможного плана производства, которому отвечали бы экстремальные значения одновременно всех частных критериальных показателей. Свидетельство тому – приведенный выше пример.

Первой альтернативе отвечает по существу однокритериальная ситуация, когда используется основной в содержательном отношении критерий, а остальные игнорируются, поскольку ничему не противоречат, не влияют на оптимизацию основного принятого в модели критерия.

Вторая альтернатива заключается в выработке разумного, с практической точки зрения, компромисса, когда для принятого плана производства не достигаются потенциально возможные оптимальные значения отдельных целевых критериев, но каждый из них для этого плана принимает в той или иной мере близкое к оптимальному значение. Не будем рассматривать сейчас практические детали формализованного отражения компроОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ миссов – это самостоятельная теория, но в конечном итоге проблема компромисса сводится к выработке некоторого комплексного критерия, в котором названные выше частные критерии присутствуют как отдельные составляющие.

Пользуясь современной терминологией, можно утверждать, что задачи управления экономикой плохо структурированы и не всегда модель может быть построена однозначным образом. Прежде всего, цели функционирования многих экономических и особенно социально-экономических систем не всегда возможно четко сформулировать. Причем это относится не к особым условиям или ситуациям, а к самым обычным, ординарным. Например, каким конкретно показателем можно характеризовать уровень жизни населения?

Вопрос вроде бы ясный, но в то же время каждый исследователь может подойти к нему по-разному, по-своему.

Один из наиболее простых подходов и, казалось бы, естественных – это ориентация на рост денежных доходов населения. Однако за этим стоят многие сложные социальноэкономические проблемы, такие, как укрепление покупательной способности рубля, насыщение сферы потребления качественными и доступными населению по стоимости товарами, гарантирование законности и социальной справедливости и т.п. Итак, как именно конструктивно реализовать поставленную задачу оценки уровня жизни населения, вообще говоря, содержательно понятную, остается далеко не ясным.

Итеративный режим использования в экономике математических моделей – один из характерных приемов в случае плохо структурированных задач. Процесс сходимости показателей в итеративном режиме понимается как целенаправленный человекомашинный диалог с возможными изменениями исходных данных и, если необходимо, отдельных элементов модели. Другими словами, происходит самообучение модели объекта с помощью имитации его функционирования.

Построение математических моделей управления производством на каждом уровне иерархии связано с использованием агрегированной (укрупненной) информации: чем выше уровень иерархии, тем большая степень агрегирования данных. И соответственно должны существовать относительно простые методы, алгоритмы дезагрегирования (разукрупнения) информации при переходе к более низким уровням управления.

Нами рассмотрены некоторые общие положения, связанные с математическим моделированием экономических систем. Их учет привносит определенную специфику в методологию построения и использования на практике математических моделей в экономике. Более подробное обсуждение этих вопросов не входит в нашу задачу. Цель в другом:

рассматривая общие условия использования положений и результатов математической теории оптимального управления, показать место ТОУ для экономических приложений.

1. В чем состоит определение системы?

2. Чем отличается система от произвольной неупорядоченной совокупности разнородных элементов?

3. Как определяется замкнутая система. Приведите примеры.

4. Из каких элементов состоит замкнутая система?

5. Что такое обратная связь в системе? Приведите пример.

6. Могут ли быть системы без обратной связи? Приведите примеры.

7. Какие системы эффективнее, с обратной или без обратной связи?

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

8. Как определяется разомкнутая система? Приведите пример.

9. Что такое существенные и несущественные элементы (признаки) в системе, как они влияют на ее структуру?

10. В чем состоят отличительные свойства экономических систем управления?

11. Каким показателем оценивается эффективность функционирования системы?

12. В чем заключается итеративный режим использования в экономике математических моделей?

13. Что такое агрегирование информации в экономике? Как это связано с уровнями управления?

14. Что такое плохо структурированные задачи в экономике?

15. Как реализуются на практике компромиссные решения в экономике?

16. В чем состоят основные свойства оптимальных по Парето компромиссных решений? Приведите примеры их применения на практике.

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ГЛАВА 3. Оптимизационные модели экономической динамики 3.1. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель Прежде чем переходить к построению абстрактных моделей управляемых процессов и, в частности, к моделям развития экономики (см. главу 4), рассмотрим механизм построения нескольких простых примеров экономической динамики.

Исследование взаимосвязей элементов производства вне общественной формы реализации продукции (рис. 3.1) приводит к производственно-технологической интерпретации экономики.

Рис. 3.1. Принципиальная схема производства и распределения продукции На рис.3.2 выделены факторы, характеризующие производство: живой труд (L), средства труда (основные производственные фонды, капитал K) и предметы труда (Ws) – ресурсы.

Результатом производственной деятельности является валовой продукт (X), распределяемый в блоке PХ на производственное потребление (W) и конечный продукт (Y). В свою очередь, конечный продукт (Y) делится в блоке распределения P Y на валовые капитальные вложения (I) и на непроизводственное потребление (C).

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Валовые капитальные вложения I, входящие в блок P I, делятся на амортизационные отчисления (A) и чистые инвестиции, идущие на расширение производственных фондов.

Ограничимся изучением взаимосвязей между синтетическими показателями верхнего уровня экономической иерархии. Одним из подходов к решению данной проблемы является построение однопродуктовой макроэкономической модели. С помощью этой модели изучают свойства и тенденции изменения взаимосвязанных агрегированных показателей, таких, как валовой и конечный продукты, трудовые ресурсы, производственные фонды (капитал), инвестиции, потребление и т.д. Так, на макроуровне блок распределения P X показывает взаимосвязь между валовым продуктом X, производственным потреблением W и конечным продуктом Y:

Блок P Y делит конечный продукт на две составляющие: валовые капитальные вложения I и непроизводственное потребление C, т.е.

Инвестиции составляют материальную основу наращивания и перевооружения производства. За их счет осуществляется ввод в действие основных производственных фондов. Однако этот процесс сопряжен с определенными трудностями, одной из которых является учет распределенного запаздывания прироста основных фондов от реализации капитальных вложений. В экономико-математическом моделировании имеется ряд подходов к описанию этой взаимосвязи.

В однопродуктовой модели делается предположение, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост основных производственных фондов, в том же году и на амортизационные отчисления:

а) в дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид где Kt – прирост основных производственных фондов в году t;

q – параметр модели;

А – амортизационные отчисления;

– коэффициент амортизации;

Kt – основные производственные фонды в году t;

б) аналогом уравнения (3.3) в непрерывном варианте является Отсюда можно получить дифференциальное уравнение динамики фондов Объединяя уравнения связи (3.1) – (3.4), получим однопродуктовую динамическую макромодель в дискретном варианте:

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

то в дискретном варианте однопродуктовая динамическая модель примет вид откуда можно получить а в непрерывном варианте В некоторых случаях используют упрощенные варианты однопродуктовой динамической модели.

С л у ч а й 1. Открытая однопродуктовая динамическая модель Леонтьева. Предполагают, что все валовые инвестиции идут на ввод в действие новых основных производственных фондов (основные фонды не изнашиваются). Считая, что прирост выпуска продукции X t =X t +1 - X t пропорционален капитальным вложениям, т.е.

из уравнений (3.1), (3.2), с учетом выражений (3.5), (3.7), получим однопродуктовую открытую динамическую модель Леонтьева:

В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая макромодель Леонтьева имеет вид C математической точки зрения эта модель представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (см. раздел 1.5, при решении уравнений второго порядка первый порядок может рассматриваться как частный случай).

С л у ч а й 2. Замкнутая однопродуктовая модель Леонтьева. Предполагают, что непроизводственное потребление C(t) идет полностью на восстановление рабочей силы L(t). Тогда, введя норму потребления (t), получим Далее, если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции, то где b(t) - норма трудоемкости.

Подставляя в формулу (3.8) соотношения (3.9) и (3.10), получим “замкнутую по потреблению” модель расширенного воспроизводства которая описывается однородным дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Тогда развитие экономики определяется решением уравнения (3.10):

С л у ч а й 3. Непроизводственное потребление является известной функцией времени. При этом закон развития экономики определяется из модели (3.8), которая представляет из себя неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

с решением Итак, выделение из конечного продукта Y накапливаемой части I приводит к рассмотрению динамических моделей и применению для их исследования в качестве математического инструментария теории дифференциальных (в непрерывном случае) и конечноразностных (в многошаговом варианте) уравнений.

3.3. Однопродуктовая оптимизационная динамическая Экономика содержит в себе объективную необходимость и возможность оптимального развития. Количественный анализ и математическая формулировка экономических законов служит переходной ступенью от их качественной трактовки к разработке моделей оптимального развития. При математической интерпретации экономических законов следует исходить из того, что закон, представляющий причинно-следственную связь производственных отношений, имеет некоторую количественную форму выражения. В качестве материального носителя при этом предполагается рассматривать в основном различные формы общественного продукта.

В исследуемой оптимизационной модели в качестве критерия оптимальности предполагается максимизировать дисконтированную сумму конечного (непроизводственного) потребления в течение срока прогнозирования (планирования) :

где C(t) – непроизводственное потребление;

(t) – функция дисконтирования, отражающая меру предпочтения потребления в данный момент t относительно потребления того же продукта в последующие моменты Итак, если стоит задача оптимального развития экономики, то ее можно сформулировать следующим образом: определить такой вариант выпуска продукции X(t) и такое непроизводственное потребление C(t), которые обеспечат наибольшее интегральное дисконтированное потребление.

Модель примет следующий вид.

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Для экономики, распределение продукции которой определено дифференциальным уравнением связи (см. дискретный аналог (3.6)).

выпуск продукции ограничен производственной функцией F(t,R,L) (подробнее см. в разделе 5.1):

а рост производственных фондов ограничен снизу:

Необходимо найти такой вариант развития, который обеспечивает максимум функционала (3.11).

Итак, рассмотренная однопродуктовая модель учитывает не только динамику развития экономики, но и цель этого развития.

Количественное определение оптимального варианта развития экономики с помощью этой модели связано с использованием аппарата ТОУ, (см. главу 5).

3.4. Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики Дезагрегирование динамической однопродуктовой макроэкономической модели приводит к рассмотрению развития многоотраслевой экономики.

Рассмотрим экономику, представленную n отраслями, каждая из которых идентифицируется отраслевым уравнением воспроизводства основных фондов в предположении, что инвестиции в i-ю отрасль полностью расходуются без учета запаздывания на прирост основных производственных фондов и на амортизационные отчисления:

где I i – интенсивность валовых инвестиций;

i – коэффициент амортизационных отчислений;

K i – основные фонды.

При известном уровне основных производственных фондов в базисном году производственные возможности отраслей ограничены производственной функцией отрасли где X – интенсивность валовых инвестиций;

L i – трудовые ресурсы Межотраслевые связи представлены балансовыми соотношениями где Y i – интенсивность конечного продукта i-й отрасли;

d ij – структурные коэффициенты основных производственных фондов;

C i – интенсивность производственного потребления i-й отрасли.

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Похожие работы:

« АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей математики и информатики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ИНФОРМАТИКА основной образовательной программы по специальности 160400.65 – проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов Благовещенск 2013 1 УМКД разработан канд. пед. наук, доцентом,...»

« государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Кафедра автоматизированных систем управления ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ Методические указания по самостоятельной и индивидуальной работе студентов по дисциплине Защита информации направления подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника (квалификация (степень) бакалавр)...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. А. Пушкарь ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ И ПРИМЕРАХ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Москва 2007 ББК 22.161.6 УДК 517.9 П91 Рецензенты: В.Б. Миносцев, заслуженный работник ВШ РФ, доктор физикоматематических наук, профессор Московского государственного индустриального университета; Д.Л. Ревизников, доктор физико-математических наук, профессор Московского авиационного института (Технический...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РEСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет радиофизики и электроники Кафедра информатики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе СИСТЕМА ЦИФРОВОЙ ОСЦИЛЛОГРАФИИ НА БАЗЕ ПЭВМ по курсу “КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ” Утверждено на заседании кафедры ““, _ “1997 протокол № 1997 2 Составители: кандидат технических наук, доцент Чудовский Валерий Анатольевич, Старший преподаватель Стецко Игорь Петрович Ассистент Огурцов Александр Михайлович. Аспирант...»

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Тверской государственный университет Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра экономики МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ Направление: 230700.68 – Прикладная информатика Программа – Прикладная информатика в аналитической экономике Степень (квалификация) – магистр прикладной информатики ТВЕРЬ 2011 2 Составитель: Горшенина Е.В., д.э.н., профессор, зав. кафедрой экономики факультета ПМиК Печатается по решению...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ГОУВПО АмГУ) УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ОМиИ _Г.В. Литовка _2009 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ИНФОРМАТИКА для специальности 140106 – энергообеспечение предприятий Составители: Н.А. Чалкина, к.п.н. Т.А. Макарчук, к.п.н. Благовещенск, Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета математики и информатики...»

« автоматизированной обработки информации Методические указания к курсовому проекту дисциплины: Параллельная обработка данных для направления подготовки: 230100 – Информатика и вычислительная техника профиль: Автоматизированные системы обработки информации и управления квалификация (степень) выпускника: бакалавр Составитель: к.т.н. Мирошников А.С....»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет Кафедра Экономическая кибернетика СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Тематика и методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности Прикладная информатика в экономике заочной формы обучения Хабаровск 2010 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ: тематика и методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ) Структуры и алгоритмы обработки данных на ЭВМ Методические указания по выполнению лабораторных работ студентов всех форм обучения для направления подготовки 010400.62 Прикладная математика и информатика 2011 г. 2 Горитов А.Н....»

«МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ МЕНЕДЖЕР ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ Учебно-методическое пособие Под общей редакцией профессора В.К. Клюева Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области народной художественной культуры, социально-культурной деятельности и информационных ресурсов в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 071201 –...»

«Ф.П. Тарасенко ПРИКЛАДНОЙ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Допущено Советом УМО по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия по специальности Государственное и муниципальное управление УДК 002+517(075.8) ББК 32.81+22.16я73 Т19 Рецензенты: В.А. Кочегуров, академик Международной академии информатизации, проф. кафедры прикладной математики Томского политехнического университета, д р техн. наук, А.М. Кориков, засл. деятель науки РФ, заведующий кафедрой автоматизиро ванных систем управления...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Кафедра Инженерная и компьютерная графика Кафедра Технология мясных и консервированных продуктов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ для студентов специальностей 270800, 270900 очной и заочной форм обучения Составители: Доржиев Ц.Ц. Мункуева С.Д. Сультимова Т.Д. Юмжапова С.Д. Улан-Удэ 2001 СОДЕРЖАНИЕ Методические указания и контрольные задания к выполнению...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей математики и информатики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ИНФОРМАТИКА основной образовательной программы по направлению подготовки 280700.62 – техносферная безопасность Благовещенск 2012 1 УМКД разработан канд. пед. наук, доцентом, Чалкиной Натальей Анатольевной Рассмотрен и...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тюменский государственный нефтегазовый университет Институт кибернетики, информатики и связи Утверждаю Председатель СПС д.т.н., профессор О.Н. Кузяков _ __2011 г МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО СОСТАВЛЕНИЮ ИНДИВИДУЛЬНЫХ ПЛАНОВ И ОФОРМЛЕНИЮ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ (выпускной квалификационной работе магистра) ТЮМЕНЬ В Методических указаниях подробно рассматривается содержание...»

«МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА Я.С. Дымарский МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СЕТЕЙ СВЯЗИ Методические указания и контрольные задания 200900, 220200, 220400, 550400 Санкт-Петербург 2003 1 УДК 621.391.28 Дымарский Я.С. Методы Оптимизации сетей связи: Методические указания и контрольные задания. Для студентов специальностей 200900, 220200, 220400, 550400 / СПбГУТ. – СПб, 2003....»

« педагогический университет им. А.И. Герцена (кафедра социальной педагогики) ГБОУ школа № 302 Фрунзенского района Санкт-Петербурга Формирование социальной зрелости учащихся средствами профессиональных проб и социальных практик Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2014 1 РЕКОМЕНДОВАНО К ИЗДАНИЮ: Лабораторией инноватики в...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова В.С. Климов Одномерный математический анализ Часть I Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов специальностей Математика и Прикладная математика и информатика Ярославль 2005 УДК 517 ББК В16я73 К 49 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2005 года...»

« автоматизированной обработки информации Методические указания к лабораторным работам. I дисциплины: Параллельная обработка данных для направления подготовки: 230100 – Информатика и вычислительная техника профиль: Автоматизированные системы обработки информации и управления квалификация (степень) выпускника: бакалавр Составители: к.т.н. Мирошников...»

«УДК 002.52/.54(075.8) ББК 32.973.202я73 Л 12 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА (ФГБОУ ВПО ПВГУС) Рецензент к.т.н., доц. Жуков Г. П. Кафедра Информационный и электронный сервис ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Лабораторный практикум по дисциплине Проектирование Л 12 информационных систем / сост. А. А. Попов. – Тольятти: Изд-во по дисциплине Проектирование информационных...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А. Роганов Информатика Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов направления Прикладная математика и информатика и специальности Математическое обеспечение и администрирование информационных систем МГИУ Москва 2007 ББК 32.97 УДК 681.3 Р59 Рецензент: И.М. Белова, кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного индустриального университета Роганов Е.А....»

Анализ влияния природоохранной деятельности на показатели экономического развития предприятия на основе экономико-математического моделирования

Анализ циклов и кризисов с блоками Scope в Simulink

Для управления экспериментами модель насыщается блоками Scope отображения информации о показателях процессов и линиями, питающими блоки информацией. Эта инфраструктура эксперимента затуманивает модель, затрудняет мышление экономиста...

Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

Для начала опишем теоретическую экономическую модель и в ее рамках сформулируем математическую задачу оптимального управления. Трехсекторная модель экономики была разработана В.А.Колемаевым...

Динамическое программирование

Сетевое планирование и управление возникло в 1957 - 1958 гг. под названием «метод критического пути» и метод PERT (метод оценки и пересмотра планов)...

Имитационное моделирование показателей мобильного бюджетирования предприятий ремонтного сектора вагонного хозяйства

Использование метода динамического программирования для решения экономических задач

Широкий класс составляют задачи, в которых речь идет о наиболее целесообразном распределении во времени тех или иных ресурсов (денежных средств, рабочей силы, сырья и т. п.). Рассмотрим простейший пример задачи такого рода...

Класс задач, рассматриваемый в данной главе, имеет многочисленные практические приложения. В общем виде эти задачи могут быть описаны следующим образом. Имеется некоторое количество ресурсов, под которыми можно понимать денежные средства...

Классификация математических моделей, используемых в экономике и менеджменте

Класс задач, в которых рассматривается оптимальное управление Запасами, является наиболее характерным для динамического программирования. Это обусловлено тем, что в задачах управления запасами процесс естественно разворачивается во времени...

Методы определения параметров и характеристик случайных процессов

Условия задачи. Годовая потребность машиностроительного завода в шинах марки Bridgestone В250 (175/70 R13 82H) составляет 70 000 шт., расходы на один заказ - 600 руб., издержки по содержанию запасов - 10 руб. за шт. в год. Завод работает 300 дней в году...

3) теория массового обслуживания; 4) теория игр...

Моделирование систем массового обслуживания

Сетевое планирование и управление вознило в 1957 - 1958 г.г. под названием "метод критического пути" и метод PERT (метод оценки и прерсмотра планов)...

Обзор экономико-математических методов. Применение стохастического программирования для решения экономических задач

До появления сетевых методов планирования работ, проектов осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный график Ганта, недостаток которого состоит в том...

Пусть имеется некоторое количество ресурсов х, которое необходимо распределить между п различными предприятиями, объектами, работами и т.д. так, чтобы получить максимальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения...

Применение динамического программирования для моделирования процессов принятия решений

Общество с ограниченной ответственностью «СТРОЙКРОВЛЯ», специализирующаяся на кровельных работах, использует большое количество металлочерепицы (около 35 000 кв. м в год). При небольших закупках, на одну кровлю (кв. м)...

Проблематика прогнозирования спроса

Первоначально модель LAM (Long-run Adjustment Model) разработали для моделирования и прогнозирования экономик стран восточной Европы в переходный период...

Исследуется теоретический и прикладной аппарат оптимального управления в экономике. Основополагающие теоремы о достаточных условиях оптимальности доводятся до вычислительных методов принципа максимума и динамического программирования. В отличие от 1-го издания (2003 г.) радикально переработаны некоторые главы, расширен иллюстративный ряд. Все представленные по тексту задачи даны с решениями, а задачи для самостоятельной работы - с ответами; приведены варианты заданий для курсовых работ.
Для студентов, обучающихся по специальности 080116 «Математические методы в экономике», а также для всех интересующихся математическими основами принимаемых решений.

Теория оптимального управления согласно Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования, утвержденному Министерством образования Российской Федерации в 2000 г., - одна из основных дисциплин специальности 080116 «Математические методы в экономике» при подготовке студентов с присвоением квалификации «экономист-математик». Первое учебное пособие по этой дисциплине было издано в 1990 г.*

Настоящее пособие отражает многолетний опыт работы авторов на кафедре теории оптимального управления в Московском государственном университете экономики, статистики и информатики (МЭСИ) и в системе повышения квалификации в различных ВУЗах. Первые три главы носят справочный характер. Это обусловлено тем, что необходимые для последующего изучения теории оптимального управления разделы математики преподаются студентам в основном на 1-2-м курсах, а конкретные задачи оптимального управления решаются не раньше чем на 4-5-м курсах.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 9
1.1. Основные понятия и определения теории множеств и теории функций 9
1.2. Оптимизация функций на ограниченном множестве 14
1.3. Зависимость функции и множества от параметра 16
1.4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 22
1.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 24
1.6. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений 30
Вопросы для самопроверки 33
Задачи для самостоятельной работы 33
Глава 2 ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 35
2.1. Система, модель, моделирование 35
2.2. Управление. Обратная связь. Замкнутая система 39
2.2.1. Принципиальная схема управления 40
2.2.2. Иерархия управления 42
2.3. Экономическая система как объект управления (некоторые аспекты математического моделирования) 43
Вопросы для самопроверки 46
Глава 3 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 47
3.1. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель 47
3.2. Оптимизационная однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель 52
3.3. Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики 54
Вопросы для самопроверки 56
Глава 4 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 57
4.1. Вспомогательные математические конструкции 57
4.2. Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов 62
4.3. Достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов 67
4.4. Обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности 71
4.5. Применение достаточных условий оптимальности к решению задач 75
4.5.1. Линейные по управлению процессы без ограничений на управление 75
4.5.2. Линейные по управлению процессы
с ограничениями на управление 81
Вопросы для самопроверки 84
Глава 5 ОДНОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ МАКРОЭКОНОМИКИ 85
5.1. Моделирование производства на макроуровне 85
5.2. Оптимизационная модель макроэкономической динамики. Магистральная теория 89
Вопросы для самопроверки 101
Глава 6 МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ 102
6.1. Уравнения метода 102
6.2. Принцип максимума Понтрягина 109
6.3. Принцип максимума как достаточное условие оптимальности 114
6.4. Задача Эйлера вариационного исчисления 122
Задачи для самостоятельной работы 126
Глава 7 МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 129
7.1. Уравнения метода. Условия оптимальности для многошагового процесса с неограниченным управлением 129
7.2. Условия оптимальности для многошагового процесса при наличии ограничений на управление 137
Задачи для самостоятельной работы 144
Глава 8 ПРИМЕНЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА 146
8.1. Цели исследования. Оптимальное управление движущимся объектом 146
8.2. Календарное планирование поставки продукции. Дискретный вариант. Численное решение 153
8.3. Оптимальное планирование поставки продукции. Непрерывный вариант. Численное решение 161
8.4. Оптимальное потребление в однопродуктовой макроэкономической модели 165
Вопросы для самопроверки 169
Глава 9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ-БЕЛЛМАНА 170
9.1. Идея и основные элементы 170
9.1.1. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Непрерывный вариант 171
9.1.2. Синтез оптимального управления 175
9.2. Алгоритм Гамильтона-Якоби-Беллмана (для непрерывных процессов) 176
9.3. Метод Гамильтона-Якоби-Беллмана. Многошаговый вариант 183
9.4. Оптимальное распределение инвестиций между проектами методом динамического программирования 189
9.5. Сравнительный анализ методов Лагранжа - Понтрягина и Гамильтона-Якоби-Беллмана 195
Задачи для самостоятельной работы 196
Краткий словарь терминов 198
Рекомендуемая литература 201
Приложения
1. Варианты заданий для курсовых работ 202
2. Ответы к задачам для самостоятельной работы 203
3. Графическое изображение ответов к задачам для самостоятельной работы 210
Предметный указатель 219

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Оптимальное управление в экономике, Теория и приложения, Лагоша Б.А., Апалькова Т.Г., 2008 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Методы оптимального управления в экономических играх. Каталог учебных материалов. Оптимизационные модели экономической динамики

ПРЕДИСЛОВИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Способы слияния и поглощения компаний

Алексей Ерёменко - младший политрук