При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.

К экономическим моделям могут относится модели:

• экономического роста
• потребительского выбора
• равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — это логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

Основные типы моделей

• Экстраполяционные модели
• Факторные эконометрические модели
• Оптимизационные модели
• Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
• Экспертные оценки
• Теория игр
• Сетевые модели
• Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

R a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

Итак, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.

После этого нужно выбрать способ решения этой модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с этими способами и методами в экономическом анализе используются и специфически математические способы и методы.

Интегральный метод экономического анализа

Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d y / d x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y

Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y ;

Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0

Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .

Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)

Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)

Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y) . Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы этой формулы:

ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;

Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Предположим, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Наконец, для фактора с имеем:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Метод линейного программирования

См.далее:

Теория массового обслуживания

См.далее:

Теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, является так называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.

Так, например, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Метод сетевого планирования

См.далее:

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Он включает в себя рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик этой системы на будущие периоды. В процессе осуществления этого вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров этих функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, которые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.

Для выявления структуры временного ряда, т.е. определения количественных значений компонентов, составляющих уровней ряда, чаще всего используют аддитивную или мультипликативную модели временных рядов.

Мультипликативная модель. У=Т*S*E

T-трендовая компонента

S-сезонная компонента

E-случайная компонента

Мультипликативная модель используется в случае, если амплитуда сезонных колебаний увеличивается или уменьшается.

Алгоритм построения модели. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

Выравнивание уровней исходного ряда методом скользящей средней.

Расчет значений сезонной компоненты S

Устранение сезонной компоненты из исходного уровня ряда и получение выровненных данных без S

Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений фактора Т

Расчет полученных значений (Т* S) для каждого уровня ряда

Расчет абсолютных или относительных ошибок модели.

(или 4.Определение тенденции временного ряда и уравнения тренда; 5.Расчет абсолютных или относительных ошибок модели.)

26 Выделение сезонной составляющей

Оценку сезонной компоненты можно найти как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние.

Для начала необходимо найти средние за период (квартал, месяц) оценки сезонной компоненты Si . В моделях сезонной компоненты обычно предполагается что сезонные взаимодействия за период взаимопоглощаются.

В мультипликативной модели взаимопоглощаемость сезонных воздействий выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле.

Выравнивание исходных уровней с помощью скользящей средней: а) Суммируются уровни ряда последовательно за каждый период времени за каждые 4 квартала со сдвигом на 1 момент времени и определяются условные годовые объемы потребления б) Разделим полученные суммы на 4, получим скользящие средние. Полученные выравненные значения не содержат сезонной компоненты. в) Приводим эти значения в соответствие с фактическими моментами времени для чего найдем среднее значение из 2-х скользящих средних – центрированные скользящие средние.

27.Коэффициент корреляции.

Для определения степени линейной связи рассчитывается коэфф-т корреляции.

Для определения нелинейной связи определяется индекс корреляции

, 0 1

Коэффициент детерминации: R 2 = 2 -для лин. связи. R 2 = 2 -для нелин. связи.

Показывает на сколько % изменения показателя у от своего среднего значения зависит от изменения фактора х от своего среднего значения. Чем ближе значение R² к 1, тем точнее модель.

Из всех полученных уравнений регрессии, лучшей является та, у которой коэф-т детерминации больший.

Если исследуется несколько факторов (больше2) то в этом случае рассчитывается множественный коэфф-т корреляции.R Y , X 1, X 2.. XN -множественный коэфф-т корреляции.

При анализе влияния нескольких факторов друг на друга определяется корреляционная матрица, которая состоит из всех возможных парных линейных коэфф-тов корреляции.

Корреляционная матрица:

Мультипликативная модель.

Пример 2. Выручка от реализации продукции (объем продукции - V) может быть выражена как произведение комплекса факторов: численность персонала (Чп), доля рабочих в общей численности персонала (dр); среднегодовая выработка одного рабочего (Вр)

V = Чп * dр * Вр

Смешанная (комбинированная) модель представляет собой сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей: Пример 4. Рентабельность предприятия (Р) определяется как частное от деления балансовой прибыли (Пбал) на среднегодовую стоимость основных (ОС) и нормируемых оборотных (ОБ) средств:

Ø Преобразования детерминированных факторных моделей

Для моделирования различных ситуаций в факторном анализе применяются специальные методы преобразования типовых факторных моделей. Все они основаны на приеме детализации . Детализация – разложение более общих факторов на менее общие. Детализация позволяет на основе знания экономической теории упорядочить анализ, содействует комплексному рассмотрению факторов, указывает значимость каждого из них.

Развитие детерминированной факторной системы достигается, как правило, за счет детализации комплексных факторов. Элементные (простые) факторы не раскладываются.

Пример 1. Факторы

Большая часть традиционных (специальных) приемов детерминированного факторного анализа основана на элиминировании . Прием элиминирования используется для определения изолированного фактора путем исключения воздействия всех остальных. Исходной посылкой данного приема является следующая: Все факторы изменяются независимо друг от друга: сначала изменяется один, а все другие остаются без изменения, затем изменяются два, три и т.д. при неизменности остальных. Прием элиминирования является в свою очередь основой для других приемов детерминированного факторного анализа, цепных подстановок, индексных, абсолютных и относительных (процентных) разниц.

Ø Прием цепных подстановок

Цель.

Область применения . Все виды детерминированных факторных моделей.

Ограничение на использование.

Порядок применения . Рассчитывается ряд скорректированных значений результативного показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на фактические.

Расчет влияния факторов целесообразно проводить в аналитической таблице.

Исходная модель: П = А х В х С х Д

А

Ø Прием абсолютных разниц

Цель. Измерение изолированного влияния факторов на изменение результативного показателя.

Область применения. Детерминированные факторные модели; в том числе:

1. Мультипликативные

2. Смешанные (комбинированные)

типа Y = (A-B)C и Y = A(B-C)

Ограничения на использование. Факторы в модели должны быть последовательно расположены: от количественных к качественным, от более общих к более частным.

Порядок применения. Величина влияния отдельного фактора на изменение результативного показателя определяется путем умножения абсолютного прироста исследуемого фактора на базисную (плановую) величину факторов, которые в модели находятся справа от него, и на фактическую величину факторов, расположенных слева.

В случае исходной мультипликативной модели П = А х В х С х Д получим: изменение результативного показателя

1. За счет фактора А:

DП А = (А 1 – А 0) х В 0 х С 0 х Д 0

2. За счет фактора В:

DП В = А 1 х (В 1 - В 0) х С 0 х Д 0

3. За счет фактора С:

DП С = А 1 х В 1 х (С 1 - С 0) х Д 0

4. За счет фактора Д:

DП Д = А 1 х В 1 х С 1 х (Д 1 - Д 0)

5. Общее изменение (отклонение) результативного показателя (баланс отклонений)

D П = D П а + D П в + D П с + D П д

Баланс отклонений должен соблюдаться (так же как в приеме цепных подстановок).

Ø Прием относительных (процентных) разниц

Цель. Измерение изолированного влияния факторов на изменение результативного показателя.

Область применения . Детерминированные факторные модели, включая:

1) мультипликативные;

2) комбинированные типа Y = (А – В) С,

целесообразно применять, когда известны определенные ранее относительные отклонения факторных показателей в процентах или коэффициентах.

Требования к последовательности расположения факторов в модели отсутствуют.

Исходная посылка . Результативный признак изменяется пропорционально изменению факторного признака.

Порядок применения . Величина влияния отдельного фактора на изменение результативного показателя определяется путем умножения базисного (планового)значения результативного показателя на относительный прирост факторного признака.

Исходная модель:

Изменение результативного показателя:

1. За счет фактора А:

За счет фактора В:

2. За счет фактора С:

Баланс отклонений . Общее отклонение результативного показателя складывается из отклонений по факторам:

D Y = Y 1 - Y 0 = D Y A + D Y B + D Y C

Ø Индексный метод

Цель. Измерение относительного и абсолютного изменения экономических показателей и влияния на него различных факторов.

Область применения .

1. Анализ динамики показателей, в том числе агрегированных (сложенных).

2. Детерминированные факторные модели; включая мультипликативные и кратные.

Порядок применения . Абсолютное и относительное изменение экономических явлений.

Агрегатный индекс стоимости продукции (товарооборота)

I pq – характеризует относительное изменение стоимости продукции в действующих ценах (ценах соответствующего периода)

Разность числителя и знаменателя (åp 1 q 1 - åp o q 0) – характеризует абсолютное изменение стоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Агрегатный индекс цен:

I p – характеризует относительное изменение средней цены на совокупность видов продукции (товаров).

Разность числителя и знаменателя (åp 1 q 1 - åp o q 1) – характеризует абсолютное изменение стоимости продукции вследствие изменения цен на отдельные ее виды.

Агрегатный индекс физического объема продукции:

характеризует относительное изменение объема продукции в фиксированных (сопоставимых) ценах.

åq 1 p 0 - åq 0 p 0 – разность числителя и знаменателя характеризует абсолютное изменение стоимости продукции вследствие изменения физических объемов различных ее видов.

На основе индексных моделей проводится факторный анализ.

Так, классической аналитической задачей является определение влияния на стоимость продукции фактора количества (физического объема) и цен:

В абсолютных величинах

å p 1 q 1 - å p 0 q 0 = (å q 1 p 0 - å q 0 p 0) + (å p 1 q 1 - å p 0 q 1).

Аналогично, используя индексную модель, можно определить влияние на полную себестоимость продукции (zq) факторов ее физического объема (q) и себестоимости единицы продукции различных видов (z)

В абсолютном выражении

å z 1 q 1 - å z 0 q 0 = (å q 1 z 0 - å q 0 z 0) + (å z 1 q 1 - å z 0 q 1)

Ø Интегральный метод

Цель. Измерение изолированного влияния факторов на изменение результативного показателя.

Область применения . Детерминированные факторные модели, в том числе

· Мультипликативные

· Кратные

· Смешанные типа

Преимущества. По сравнению с приемами, основанными на элиминировании, дает более точные результаты, поскольку дополнительный прирост результативного показателя за счет взаимодействия факторов распределяется пропорционально их изолированному воздействию на результативный показатель.

Порядок применения . Величина влияния отдельного фактора на изменение результативного показателя определяется на основе формул для разных факторных моделей, выведенных с применением дифференцирования и интегрирования в факторном анализе.

Изменение результативного показателя за счет фактора х

D¦ х = D ху 0 +DхDу / 2

за счет фактора у

D¦ у = D ух 0 +DуDх / 2

Общее изменение результативного показателя: D¦ = D¦ х + D¦ у

Баланс отклонений

D¦ = ¦ 1 - ¦ 0 = D¦ х +D¦ у

Способ абсолютных разниц применяется для расчета влияния факторов на прирост результативного показателя в детерминированном анализе, но только в мультипликативных моделях (Y = xt-x x x i) и моделях мультипликативно-аддитивного типа Y= (а - Ь)с и Y = = a(b - с). И хотя его использование ограничено, но благодаря своей простоте он получил широкое применение в АХД.  

Рассмотрим алгоритм расчета факторов этим способом в моделях мультипликативно-аддитивного вида. Для примера возьмем факторную модель прибыли от реализации продукции  

Модель мультипликативная - жестко детерминированная факторная модель , в которую факторы входят в виде произведения.  

Строго говоря, все сезонные модели мультипликативны и имеют лишь один линейный элемент (роп), он и будет аддитивным.  

В данном случае для преобразования исходной факторной модели , построенной на математических зависимостях, использованы способы удлинения и расширения. В результате получилась более содержательная модель мультипликативно-аддитивно-кратного вида, которая имеет большую познавательную ценность, поскольку учитывает причинно-следственные связи между показателями. Данная модель позволяет исследовать, как влияют на доходность капитала объем продаж , отпускные цены , себестоимость реализованной продукции, внереализационные финансовые результаты , а также скорость обращения капитала.  

Итак, мы рассмотрели четыре способа выявления сезонной компоненты аддитивную модель , мультипликативную модель, метод экспоненциального сглаживания с тремя параметрами, гармонический анализ Фурье (рис. П-7). В нашем примере оказалось, что наименьшую ошибку дает мультипликативная модель, т. е. применение индексов сезонности.  

Поскольку модель мультипликативная, то применимы следующие способы ее обработки.  

Методика построения мультипликативных моделей эффективности производства.  

Вычислительная схема реализации расчетов по модели (2)- (9) на основе мультипликативного алгоритма симплекс. - метода показана на рисунке.  

Эти модели отражают процесс детализации исходной факторной системы мультипликативного вида и расширения ее за счет расчленения на сомножители комплексных факторов. Степень детализации и расширения модели зависит от цели исследования, атакже от возможностей детализации и формализации показателей в пределах установленных правил.  

Наиболее универсальным из них является способ цепной подстановки . Он используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей аддитивных, мультипликативных, кратных и смешанных (комбинированных). Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде . С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и последующих факторов, допуская, что остальные не меняются. Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или другого фактора позволяет элиминировать влияние всех факторов, кроме одного, и определить воздействие последнего на прирост результативного показателя. Порядок применения этого способа рассмотрим на примере, приведенном в табл. 4.1.  

Как нам уже известно, объем валовой продукции (ВП) зависит от двух основных факторов первого порядка численности рабочих (ЧР) и среднегодовой выработки (ГВ). Имеем двухфакторную мультипликативную модель  

Мультипликативные модели - модели умножения. Например, объем продукции может быть определен по выражению  

Корреляционная модель себестоимости добычи нефти и попутного газа по указанным факторам была рассчитана по мультипликативной функции Кобба - Дугласа (41). В результате решения этой модели было составлено сводное уравнение по нефтедобывающей промышленности Украинской ССР  

Основным недостатком логарифмического метода анализа является то, что он не может быть универсальным, его нельзя применять при анализе любого вида моделей факторных систем. Если при анализе мультипликативных моделей факторных систем при использовании логарифмического метода достигается получение точных величин влияния факторов (в. случае, когда Az = 0), то при таком же анализе кратных моделей факторных систем получение точных величин влияния факторов не удается.  

Формирование рабочих формул интегрального метода для мультипликативных моделей. Применение интегрального метода факторного анализа в детерминированном экономическом анализе наиболее полно решает проблему получения однозначно определяемых величин влияния факторов.  

Выше было установлено, что любую модель конечной факторной системы можно привести к двум видам - мультипликативной и кратной. Это условие предопределяет то, что исследователь имеет дело с двумя основными видами моделей факторных систем, так как остальные модели - это их разновидности.  

При формировании рабочих формул расчета влияния факторов в условиях применения ЭВМ пользуются следующими правилами, -отражающими механику работы с матрицами подынтегральные выражения элементов структуры факторной системы для мультипликативных моделей строятся путем произведения полного набора элементов значений, взятых по каждой строке матрицы , отнесенных к определенному элементу структуры факторной системы с последующей расшифровкой  

Элементы мультипликативной модели  

В случае отсутствия универсальных вычислительных средств предложим чаще всего встречающийся в экономическом анализе набор формул расчета элементов структуры для мультипликативных (табл. 5.4) и кратных (табл. 5.3) моделей факторных систем, которые были выведены в результате выполнения процесса интегрирования. Учитывая потребность наибольшего их упрощения, выполнена вычислительная процедура по сжатию формул, полученных после вычисления определенных интегралов (операции интегрирования).  

Набор частных свойств специфичен, как и формы их синтеза. В большинстве случаев отдельные свойства коррелируют, что обусловливает т.н. мультипликативный эффект взаимоусиления (чаще) или взаимовлияния на полезность (качество) изделия. Поэтому приближенный к истине при отсутствии теоретически обоснованной модели является способ выражения интегрального показателя качества функцией вида  

Алгоритм расчета для мультипликативной четырехфакторнон модели валовой продукции выглядит следующим образом  

Интегральный метол применяется для измерения влияния факторов в мультипликативных, кратных и кратно-а 1дитии ых моделях. Его использование позволяет получать более точные результаты расчета влияния факторов по сравнению со способами г пной подстановки, абсолютных и относительных разниц, поскольку дополнительный прирост результативного показателя от взаимодействия факторов присоединяется не к последнему фактору, а делится поровну между ними.  

Построенные многофакторные корреляционные модели по нефте-х добывающей промышленности Украины,

Детерминированный факторный анализ в качестве цели выдвигает изучение влияния факторов на результативный показатель в случаях его функциональной зависимости от ряда факторных признаков.

Функциональную зависимость можно выразить различными моделями - аддитивной; мультипликативной; кратной; комбинированной (смешанной).

Аддитивную взаимосвязь можно представить как математическое управление, отражающее тот случай, когда результативный показатель (у) - это алгебраическая сумма нескольких факторных признаков:

Мультипликативная взаимосвязь отражает прямую пропорциональную зависимость исследуемого обобщающего показателя от факторов:

где П - общепринятый знак произведения нескольких сомножителей.

Кратная зависимость результативного показателя (у) от факторов математически отражается как частное от их деления:

Комбинированная (смешанная) взаимосвязь результативного и факторных показателей представляет собой сочетание в различных комбинациях аддитивной, мультипликативной и кратной зависимости:

где а, в, с и т.д. - переменные.

Известен ряд приемов моделирования факторных систем: прием расчленения; прием удлинения; прием расширения и прием сокращения исходных кратных двухфакторных систем типа: -. В результате процесса моделирования из двухфакторной кратной модели формируются аддитивно-кратные, мультипликативные и мультипликативно-кратные многофакторные системы типа:

Способы измерения влияния факторов в детерминированных моделях

Широкое распространение в аналитических расчетах получил способ цепной подстановки ввиду возможности использовать его в детерминированных моделях всех типов. Суть этого приема состоит в том, что для измерения влияния одного из факторов осуществляется замена его базового значения на фактическое, при этом остаются неизменными значения всех других факторов. Последующее сопоставление результативных показателей до и после замены анализируемого фактора дает возможность рассчитать его влияние на изменение результативного показателя. Математическое описание способа цепных подстановок при использовании его, например, в трехфакторных мультипликативных моделях выглядит следующим образом.

Трехфакторная мультипликативная система:

Последовательные подстановки:

Тогда для расчета влияния каждого из факторов надо выполнить такие действия:

Баланс отклонений:

Последовательность расчетов способом цепных подстановок рассмотрим на конкретном числовом примере, когда зависимость результативного показателя от факторных может быть представлена четырехфакторной мультипликативной моделью.

В качестве результативного показателя избрана стоимость реализованной продукции. Ставится цель исследовать изменение этого показателя под воздействием отклонений от базы сравнения ряда трудовых факторов - численности рабочих, целодневных и внут- рисменных потерь рабочего времени и среднечасовой выработки. Исходная информация приведена в табл. 15.1.

Таблица 15.1

Информация для факторного анализа изменения стоимости реализованной

продукции

Показатель	Обозначение	сравнения		Абсолютное отклонение	Темп роста, %	Относительное отклонение, %-ных пунктов
1.Реализованная продукция, тыс. руб.	РП = N
2. Среднегодовая численность рабочих, чел.
3.Общее число отработанных рабочими чел./дней, тыс.
4.Общее число отработанных рабочими чел./ч, тыс.
5.Отработано за год одним рабочим днем (стр.З: стр.2)
6.Средняя продолжительность рабочего дня, ч (стр.4: стр.З)
7.Среднечасовая выработка, руб. (стр.1: стр.4)
8.Среднегодовая выработка одного рабочего, тыс. руб. (стр.1: стр.2)

Исходная четырехфакторная мультипликативная модель:

Цепные подстановки:

Расчеты влияния изменения факторных показателей приводятся ниже.

1. Изменение среднегодовой численности рабочих:

2. Изменение числа дней, отработанных одним рабочим:

3. Изменение средней продолжительности рабочего дня:

4. Изменение среднечасовой выработки:

Баланс отклонений:

Результаты расчетов способом цепных подстановок зависят от правильности определения соподчиненности факторов, от их классификации на количественные и качественные. Изменение количественных мультипликаторов должно проводиться раньше, чем качественных.

В мультипликативных и комбинированных (смешанных) моделях широко применяется способ абсолютных разниц, также основанный на приеме элиминирования и отличающийся простотой аналитических расчетов. Правило расчетов этим способом в мультипликативных моделях состоит в том, что отклонение (дельту) по анализируемому факторному показателю надо умножить на фактические значения мультипликаторов (сомножителей), расположенных слева от него, и на базовые значения тех, которые расположены справа от анализируемого фактора.

Порядок факторного анализа способом абсолютных разниц для комбинированных (смешанных) моделей рассмотрим с помощью математического описания. Исходная базисная и фактическая модели:

Алгоритм расчета влияния факторов способом абсолютных разниц:

Баланс отклонений:

Способ относительных разниц используется, так же как и способ абсолютных разниц, только в мультипликативных и комбинированных (смешанных) моделях.

Для мультипликативных моделей математическое описание названного приема будет следующим. Исходные базовая и фактическая четырехфакторные мультипликативные системы:

Для факторного анализа способом относительных разниц вначале надо определить относительные отклонения по каждому факторному показателю. Например, по первому фактору это будет процентное отношение его изменения к базе:

Затем для определения влияния изменения каждого фактора производятся такие расчеты.

Рассмотрим последовательность действий на числовом примере, исходная информация для которого содержится в табл. 15.1.

В гр. 7 табл. 15.1 отражены относительные отклонения по каждому факторному показателю.

Результаты влияния изменения каждого из факторов на отклонение результативного показателя от сравнения будут следующими:

Баланс отклонений: РП, -РП 0 =432 012-417 000 = +15 012 тыс. руб. (-9811,76) + 3854,62+ (-10 673,21) + 31 642,36 = 15 012,01 тыс. руб. Индексы представляют собой обобщающие показатели сравнения во времени и в пространстве. Они отражают процентное изменение изучаемого явления за какой-то период времени по сравнению с базисным периодом. Такая информация дает возможность сравнить изменения различных факторов и проанализировать их поведение.

В факторном анализе индексный метод используется в мультипликативных и кратных моделях.

Обратимся к его использованию для анализа кратных моделей. Так, агрегатный индекс физического объема продаж (J g) имеет вид:

где q - индексируемая величина количества; р 0 - соизмеритель (вес), цена, зафиксированная на уровне базисного периода.

Разница между числителем и знаменателем в этом индексе отражает изменение товарооборота за счет изменения его физического объема.

Агрегатный индекс цен (формула) Пааше записывается таким образом:

Используя информацию, содержащуюся в табл. 15.1, рассчитаем влияние изменения индекса среднесписочной численности рабочих и индекса среднегодовой выработки одного рабочего на темп роста реализованной продукции.

Производительность труда (ПТ) одного рабочего в базовом году равна 245,29 млн руб., а в отчетном - 260,25 млн руб. Индекс роста (/ пт) составит 1,0610 (260,25: 245,29).

Индексы роста реализованной продукции (/ рп) и среднегодовой численности рабочих (/ сч) по данным табл. 15.1- соответственно:

Взаимосвязь трех указанных индексов можно представить в виде двухфакторной мультипликативной модели:

Факторный анализ способом абсолютных разниц дает такие итоги.

1. Влияние изменения индекса среднесписочной численности рабочих:

2. Влияние изменения индекса производительности труда:

Баланс отклонений: 1,0360 - 1,0 = +0,0360 или (-0,0235) + 0,0596= + 0,0361 100 = 3,61%.

Интегральный способ применяется в детерминированном факторном анализе в мультипликативных, кратных и комбинированных моделях.

Этот метод позволяет разложить дополнительный прирост результативного показателя в связи с взаимодействием факторов между ними.

Практическое использование интегрального метода базируется на специально разработанных рабочих алгоритмах для соответствующих факторных моделей. Например, для двухфакторной мультипликативной модели (у = а в) алгоритм будет таким:

В качестве примера используем двухфакторную зависимость реализованной продукции (РП) от изменения среднегодовой численности рабочих (СЧ) и их среднегодовой выработки (ПТ):

Исходная информация имеется в табл. 15.1.

Влияние изменения среднегодовой численности:

Влияние изменения производительности труда (среднегодовой выработки одного рабочего):

Баланс отклонений:

В факторном анализе в аддитивных моделях комбинированного (смешанного) типа может использования способ пропорционального деления. Алгоритм расчета влияния факторов на изменение результативного показателя для аддитивной системы типа у = а + в + с будет таким:

В комбинированных моделях расчет влияния факторов второго уровня может быть выполнен способом долевого участия. Вначале рассчитывается доля каждого фактора в общей сумме их изменений, а затем эта доля умножается на общее отклонение результативного показателя. Алгоритм расчета такой:

Систематизируем рассмотренные способы расчетов влияния отдельных факторов в детерминированном факторном анализе с использованием схемы (рис. 15.4).