Определение

Оценка параметра называется эффективной оценкой в классе , если для любой другой оценки выполняется неравенство для любого .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Олаф I Трюггвасон
• Кровь и шоколад

Смотреть что такое "Эффективная оценка" в других словарях:

эффективная оценка - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN efficient estimator … Справочник технического переводчика

эффективная оценка - efektyvusis įvertis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. efficient estimate; efficient estimator vok. effiziente Schätzung, f rus. эффективная оценка, f pranc. estimation effective, f … Automatikos terminų žodynas

Эффективная оценка - 2.22. Эффективная оценка Источник: ГОСТ 15895 77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА - несмещенная статистическая оценка, дисперсия к рой совпадает с нижней гранью в Рао Крамера неравенстве. Э. о. является достаточной статистикой для оцениваемого параметра. Если Э. о. существует, то ее можно получить с помощью метода максимального… … Математическая энциклопедия

АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА - понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич. эффективности оценки в подходящим образом выделенном классе оценок. Именно,… … Математическая энциклопедия

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ - оценка с минимальной для данного объема выборки дисперсией. О., обладающая аналогичным свойством при неограниченно возрастающем объеме выборки, называется асимптотически эффективной. Свойство эффективности должно учитываться в геологии в… … Геологическая энциклопедия

ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА - з в е з д ы (T э) параметр, характеризующий светимость звезды, т. е. полное кол во энергии, излучаемое звездой в единицу времени. Э. т. связана со светимостью L и радиусом звезды R соотношением L =4pR2sT4 э, где 4pR2 площадь поверхности звезды. Т … Физическая энциклопедия

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ - функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич.… … Математическая энциклопедия

Эффективная площадь рассеяния - Пример диаграммы моностатической ЭПР (B 26 Инвэйдер) Эффективная площадь рассеяния (ЭПР; англ. Radar Cross Section, RCS; в некоторых источниках эффективная поверхность рассеяния, эффективный поперечник рассеяния, эффективная по … Википедия

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ - СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ … Социология: Энциклопедия

Книги

• Оценка конкурентоспособности региональных инновационных продуктов на основе метода анализа иерархий , Р. Р. Харисова. Эффективная деятельность предприятия во многом зависит от того, насколько она адаптирована к внешней среде и в какой мере готова к нововведениям. В настоящее времябольшинством… Купить за 152 руб электронная книга
• 3000 примеров по русскому языку. Все правила орфографии. 1 класс. Как научиться быстро писать. Самая эффективная оценка знаний. Автоматизированность навыка , Узорова О., Нефедова Е.. В этом учебном пособии 3000 упражнений и заданий на повторение и закрепление всех тем, которые предусмотрены действующей программой по русскому языку для 1-го класса. Задания помогут…

6.2. Оценка параметров модели и дисперсии

Результаты оценки параметров

Для оценки параметров q 0 , q 1 и дисперсии s 2 используется случайная выборка у 1 , у 2 , ..., у п наблюдений переменных отклика в п опытах эксперимента и соответствующие им числовые значения x 1 , x 2 , ..., x п x . Для получения результатов и оценки параметров используется метод наименьших квадратов, который не требует никаких допущений о распределении случайных переменных модели.

Методом наименьших квадратов ищутся такие результаты и оценки параметров q 0 и q 1 , которые делают минимальной сумму квадратов разностей

= (6.2.1)

наблюдаемых в п опытах значений у i переменных отклика и их ожидаемых значений Е (у i )=q 0 +q 1 x i в соответствии с постулируемой моделью (6.1.1). Эта сумма квадратов является функцией параметров q 0 и q 1 и поэтому обозначается S (q 0 , q 1). Для нахождения и , при которых функция S (q 0 , q 1)= принимает минимальное значение, берутся её первые частные производные по q 0 и q 1 и приравниваются нулю:

=–2=0, (6.2.2)

=–2=0. (6.2.3)

Эти уравнения можно записать соответственно в виде

=0 и =0.

Решение первого уравнения относительно q 0 даёт

q 0 =

=–q 1 , (6.2.4)

где = и =. Подставляя его во второе уравнение, получаем

=0

и отсюда находим формулу для вычисления

==

= . [в силу (1.4.3)] (6.2.5)

Подставляя в (6.2.4) вместо его найденное значение , получаем формулу расчёта

Чтобы убедиться, что при результатах и оценки параметров функция S (q 0 , q 1) принимает минимальное значение, нужно рассмотреть вторые производные этой функции по q 0 и q 1 . Вторые производные функции S (q 0 , q 1) получаются соответственно =2п и =2. Значения этих производных положительные, поэтому при q 0 = и q 1 = функция S (q 0 , q 1) принимает минимальное значение [Выгодский (2006) стр. 429; Khuri (2003) стр. 114].

Заметим, что при выполнении оценки по формулам (6.2.5) и (6.2.6) не используются допущения раздела 6.1. Получаемые из уравнения =+x i результаты оценки ожидаемых значений переменных отклика оценивают их значения, полученные в результате эксперимента, и которые на самом деле возможно должны моделироваться нелинейной функцией. Тем не менее, если три допущения раздела 6.1 соблюдаются, то полученные методом наименьших квадратов и являются несмещёнными результатами оценки и имеют наименьшую дисперсию среди всех возможных линейных несмещенных результатов оценки.

Уравнения (6.1.1) моделей для п опытов эксперимента можно представить в матричном или векторном видах

у =Xq +e

Q 0 1 +q 1 x +e , (6.2.7)

где у = - вектор полученных в опытах значений переменных отклика, X = - матрица модели, q = - вектор параметров модели и e =- вектор ошибок. В этом случае оценка параметров модели может быть сделана тоже с использованием матриц. Так, произведение матрицы модели на себя принимает вид X Т X =, а обратная этого произведения (X Т X ) –1 =. Произведение матрицы модели на вектор значений переменных отклика имеет вид X Т y =. В теореме 7.2.1 следующей главы доказано, что оценки и получаются в результате решения нормальных уравнений X Т Xq =X Т y по формуле =(X Т X ) –1 X Т y , то есть

Результаты и оценки здесь такие же, как по формулам (6.2.5) и (6.2.6). Это можно показать так

===,

что, как и в (6.2.5). Для начнём с выражения (6.2.6)

=–

Второй и четвёртый члены числителя сокращаются и, как в (6.2.7), получаем

=.

Пример 6.2.1 . В интегральной микросхеме коэффициент (у) усиления транзистора между эмиттером и коллектором зависит от двух контролируемых в процессе напыления переменных: эмиттерной дозы (x в единицах по 10 14 ионов) и времени (x 1 в мин.) разгонки примеси эмиттера. Здесь рассмотрим часть данных для 10 образцов после напыления при x 1 =225, сведённых в таблицу 6.2.1 .

Таблица 6.2.1 . Значения коэффициента (у) усиления транзистора и переменной x

По формулам (6.2.5) и (6.2.6) находятся =2201,7 и =–197,6. Таким образом, уравнение оценки ожидаемых значений коэффициента усиления в зависимости от переменной x получается в виде

2201,7–197,6x .

На Рис. 6.1 показаны график зависимости от x в виде прямой линии синим цветом вместе с 10 точками с координатами (x , у ). Из рисунка, очевидно, что наклон является скоростью изменения при изменении x , а значение равно значению при x =0.

Кажущаяся линейной зависимость на Рис. 6.1 не устанавливает причинно следственной зависимости коэффициента усиления от эмиттерной дозы (выводы, которые здесь можно сделать, см. в разделе 6.3). Допущение D (e i )=s 2 (постоянной дисперсии) для всех i =1, 2, ..., 10 представляется разумным.

Рис. 6.1. Линия регрессии и данные эксперимента для коэффициента усиления и эмиттерной дозы.

Объяснение результатов и условие их раздельной оценки

Обсудим теперь смысл результатов оценки параметров, использованных в уравнении =2201,7–197,6x оценки ожидаемых значений переменных отклика из примера 6.2.1. Заметим, что на Рис.6.1 результат 2201,7 оценки параметра q 0 равный при x =0, не показана. За пределами интервала от 4,00 до 4,72 единиц переменной x , при которых коэффициент усиления транзистора действительно измерялся, прямая линия на Рис.6.1 не показана, так как нет данных, чтобы проверить её обоснованность за пределами этого интервала. В частности, результат 2201,7 должен расцениваться просто как точка, через которую проходит прямая линия в диапазоне значений переменной x опытов эксперимента.

Второй результат –197,6 оценки параметра q 1 в уравнении оценки ожидаемых значений переменных отклика определяет наклон линии в используемых единицах измерений. Таким образом, по уравнению =2201,7–197,6x величина уменьшается на 197,6 единиц при изменении на единицу переменной x .

В статистическом моделировании под планом эксперимента понимается перечень используемых в опытах эксперимента значений влияющей на отклик переменной. Так, в примере 6.2.1 с коэффициентом усиления транзистора перечень представленных в таблице 6.2.1 значений переменной ξ является планом эксперимента. Здесь план представляется вектором значений эмиттерной дозы, но в общем случае для нескольких влияющих на отклик переменных план представляет собой матрицу значений этих переменных, строки которой являются наборами их значений, устанавливаемых в опытах эксперимента. Столбцы этой матрицы используются для оценки параметров модели и для раздельной их оценки столбцы должны удовлетворять определённому условию.

Рассмотрим это условие на примере . В нём имеется уравнение линейной модели y=θ 1 x 1 +θ 2 x 2 +e, где переменной (y) отклика является скорость протекания химической реакции, а x 1 и x 2 - процентные содержания двух катализаторов А и В, влияющих на скорость реакции. Полагается, что выбран такой план эксперимента, в котором значения x 1 и x 2 оказались пропорциональны один другому, так что для каждого опыта x 2 =δ x 1 . Тогда, например, при δ =2 в каждом опыте процентное содержание катализатора В будет в два раза больше, чем катализатора А. В этом случае матрица модели имеет, например, вид X =. Тогда уравнение y=θ 1 x 1 +θ 2 x 2 +e модели может быть записано в виде

y=θ 1 x 1 +θ 2 δ x 1 +e

=(θ 1 +δ θ 2)x 1 +e

=δ –1 (θ 1 +δ θ 2)x 2 +e.

Методом наименьших квадратов могут быть найдены нормальные уравнения для оценки параметров θ 1 и θ 2 , но они не обеспечивают единственности их оценки. Эти параметры не могут быть оценены раздельно. В этом случае можно оценить только их линейную комбинацию θ 1 +δ θ 2 . Причина этого в том, что когда x 2 =δ x 1 , то влияние на переменную отклика переменной x 1 (катализатор А) полностью неразличимо от влияния переменной x 2 (катализатор В). Равенство x 2 =δ x 1 означает, что x 2 –δ x 1 =0. В общем, это происходит всегда, когда линейная зависимость вида α 1 x 1 +α 2 x 2 =0 (для данного примера α 1 =–δ , α 2 =1) связывает линейно зависимые столбцы матрицы X .

В начале раздела П.4 приложения даётся определение линейно независимых векторов и столбцов матрицы. Следовательно, для раздельной оценки параметров модели вектор-столбцы матрицы модели должны быть линейно независимы. Это условие соблюдается для столбцов матрицы модели в примере 6.2.1.

Математические ожидания и дисперсии результатов оценк и

Результаты и оценки параметров модели являются линейными функциями значений у 1 , у 2 , ..., у п переменных отклика. Используя три допущения раздела 6.1, можно получить следующие математические ожидания и дисперсии для и .

В числителе правой части выражения (6.2.5) имеем

=

=

Тогда формула (6.2.5) принимает вид

=.

Теперь, используя первое допущение Е (у i )=q 0 +q 1 x i раздела 6.1, получаем

Е ()==

==

Математическое ожидание для находится следующим образом

E ()=E (–)=E ()–E ()

=–q 1 =–q 1

Q 0 +q 1 –q 1 =q 0 . (6.2.10)

Таким образом, математические ожидания для и равны самим оцениваемым параметрам и поэтому их результаты оценки являются несмещёнными. В векторном виде для модели (6.2.7) это можно записать так

E ()=q . (6.2.11)

Дисперсия определяется с использованием его выражения по формуле (6.2.5), а также второго D (у i )=s 2 и третьего C (у i , у j )=0 допущений раздела 6.1. В силу (3.2.8), имеем

D ()==

По формуле (6.2.6) для можно записать

=–=–.

Тогда дисперсия находится следующим образом

D ()=D =

=s 2

S 2

S 2 . (6.2.13)

Обратим внимание, что при нахождении математического ожидания Е () и дисперсии D () рассматриваются случайные изменения от выборки к выборке значений случайных переменных у i . Полагается, что n значений x 1 , x 2 , ..., x п влияющей на отклик переменной x остаются теми же в опытах эксперимента при получении выборочных значений случайных переменных у i , так что дисперсии D () и D () постоянны.

Матрица дисперсий и ковариаций вектора оценки параметров модели находится в виде

D ()=E {[–E ()][–E ()] T }=(X Т X ) –1 X Т E {[y –E (y )][y T –E (y T)]}X (X Т X ) –l

= (X Т X ) –l X T E (ee T)X (X Т X ) –l

= (X Т X ) –l s 2 . (6.2.14)

Условия оценки параметров с минимальной дисперсией

Из выражения (6.2.12) видно, что дисперсия D () становится минимальной, когда сумма максимальна. Если значения x i влияющей на отклик переменной находятся в интервале а ≤x i ≤b , где а и b - крайние числа интервала, то при четном п сумма становится максимальной, если в опытах эксперимента одна половина значений переменной x выбирается равной а , а другая половина равной b . Это можно показать следующим образом.

Пусть р значений переменной x равны а , а оставшиеся п –р значений равны b . Тогда усреднённое значение этой переменной =[рa +(n –р )b ]/n . В этом случае можно представить в виде

=р {a –[рa +(n –р )b ]/n } 2 +(n –р ){b –[рa +(n –р )b ]/n } 2

=р {[na –рa –nb +рb ]/n } 2 +(n –р ){[nb –рa –nb +рb ]/n } 2

=р {[n (a –b )–р (a –b )]/n } 2 +(n –р )[–р (a –b )/n ] 2

=р (n –р ) 2 (a –b ) 2 /n 2 +(n –р )р 2 (a –b ) 2 /n 2

=[р (n –р ) 2 +р 2 (n –р )](a –b ) 2 /n 2

=р (n –р )(n –р +р )(a –b ) 2 /n 2

=р (n –р )(a –b ) 2 /n.

=(n –2р )(a –b ) 2 /n =0.

Отсюда получаем р =п /2. А если взять вторую производную, то получаем

=–2(a –b ) 2 /n.

Вторая производная получается отрицательной, следовательно при р =п /2 достигается максимум суммы .

Это преимущество, что при проведении опытов эксперимента с использованием только двух значений, называемых также уровнями фактора x , достигается минимальная дисперсия оценки коэффициента регрессии, используется в планировании двухуровневых факторных экспериментов. При планировании таких экспериментов для каждого фактора выбираются только два значения или уровня.

Кроме этого, в силу (6.2.13), очевидно, что дисперсия D () становится минимальной, когда =0. Для этого при обработке результатов двухуровневых факторных экспериментов каждый влияющий на отклик фактор нормируется по формуле (2.6.4) чтобы усреднённое нормированного фактора было равно нулю.

Ортогонализация столбцов матрицы модели

При соблюдении первого допущения раздела 6.1, математическое ожидание вектора случайных переменных отклика модели (6.2.7) имеет вид Е (у )=Xq . Если в это выражение вместо вектора q подставить вектор =(X Т X ) –1 X Т y его оценки, то получается вектор оценки ожидаемых значений случайных переменных ≡ =X . Разность векторов у и даёт вектор остатков или остаточных ошибок

е =у –=у –X (X Т X ) –1 X Т y

=[I –X (X Т X ) –1 X Т ]y (6.2.15)

Произведение этого вектора и матрицы X даёт нулевой вектор

X Т е =X Т [I –X (X Т X ) –1 X Т ]y =[X Т –X Т ]y =0 .

По определению произведения матрицы на вектор это значит, что произведение вектора е с любым вектор-столбцом матрицы X даёт нулевой результат.

Если при планировании эксперимента векторы столбцы матрицы X не сделаны ортогональными, то на практике они обычно получаются не ортогональными. Это видно из примера 6.2.1, где первый и второй столбцы не ортогональны, то есть 1 Т x ≠0. Однако можно найти составляющий вектор x о вектора x , который ортогонален вектору 1 , и переписать функцию модели с использованием ортогональных векторов. Для нахождения вектора x о, являющегося составляющим вектора x и ортогонального вектору 1 , воспользуемся тем, что вектор е остатков ортогонален векторам 1 и x . Временно считая x вектором переменных отклика и 1 вектором значений влияющей на отклик переменной, методом наименьших квадратов получим оценку вектора ожидаемых значений отклика x в виде =4,352x1 . В силу (6.2.15), вектор остатков для данных примера 6.2.1находится так x о = x –= x –4.352x1 , что в численном выражении имеет вид

x о Т =[–0,352 0,248 –0,152 –0,252 0,248 –0,052 –0,352 0,348 –0,052 0,368].

Теперь перепишем функцию модели (6.2.7) в виде

Е (у )=θ 0 1 +θ 1 x +4,352θ 1 1 –4,352θ 1 1

=(θ 0 +4,352θ 1)1 +θ 1 (x –4,352x1 ),

откуда получаем

Е (у )=θ1 +θ 1 x о,

где θ=θ 0 +4,352θ 1 . Для такой функции модели имеем матрицу X о =[1 , x о ] с использованием которой вычисляем

(X о Т X о) –1 =, X о Т y = и ==.

И последним найдём также функцию Е (у )=θ 0 1 модели, где параметр θ 0 тоже оценивается методом наименьших квадратов по формуле =(1 Т 1 ) –1 1 Т y =1341,5.

Теперь можно сравнить три выражения, полученные для оценки вектора ожидаемых значений переменных отклика:

Ø Для модели с одним параметром =1341,5x1

Ø Для модели с двумя параметрами =2201,7x1 –197,6x

Ø Для модели с ортогональными столбцами её матрицы =1341,5x1 –197,6x о

Из сравнения делаем следующие заключения:

1. Так как векторы 1 и x о ортогональны, то коэффициент перед вектором 1 в модели с ортогональными столбцами её матрицы и двумя параметрами является тем же, что и коэффициент перед 1 в модели с одним параметром.

2. Коэффициент перед вектором x о в модели с ортогональными столбцами её матрицы является тем же, что и коэффициент перед вектором x в модели с двумя параметрами и не ортогональными столбцами её матрицы.

Полученные выше выражения оценки представлены графически на Рис.6.2.1.

Рис. 6.2.1. Плоскость оценки векторов ожидаемых значений переменных отклика тремя моделями.

Вектор 1 и ортогональный ему вектор x о, как и векторы 1 и x , могут использоваться для задания плоскости, где расположен вектор оценки ожидаемых значений переменных отклика. При не ортогональности базисных векторов 1 и x конец вектора имеет координаты 2201,7x1 и –197,6x . При ортогональности базисных векторов 1 и x о, тот же конец вектора имеет координаты 1341,5x1 и –197,6x о.

Таким образом, проведённый анализ показывает, что если матрица модели с двумя параметрами имеет ортогональные вектор-столбцы, то параметры модели оцениваются независимо друг от друга и от выбираемой линейной функции модели. При этом заметим, что столбцы матрицы модели с двумя параметрами можно сделать также ортогональными, если подвергнуть нормированию переменную x , как показано в разделе 6.5 этой главы.

Оценка дисперсии

Методом наименьших квадратов невозможно оценить дисперсию D (у i )=s 2 . Нахождение минимума функции S (q 0 , q 1) дает только результаты и оценки параметров модели. Для оценки дисперсии используется выражение (3.2.2), то есть,

D (у i )=E [у i –E (у i )] 2 .

В опытах эксперимента по второму допущению раздела 6.1 дисперсия s 2 считается одинаковой для всех переменных у i (i =1, 2, ..., п ) отклика. Используя обозначение для результата оценки ожидаемого значения E (у i ) случайной переменной отклика, дисперсия s 2 оценивается выражением

5. Основные проблемы прикладной статистики - описание данных, оценивание и проверка гипотез

Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок

Как сравнивать методы оценивания между собой? Сравнение проводят на основе таких показателей качества методов оценивания, как состоятельность, несмещенность, эффективность и др.

Рассмотрим оценку θ n числового параметра θ, определенную при n = 1, 2, … Оценка θ n называется состоятельной , если она сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра θ при безграничном возрастании объема выборки. Выразим сказанное более подробно. Статистика θ n является состоятельной оценкой параметра θ тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε справедливо предельное соотношение

Пример 3. Из закона больших чисел следует, что θ n = является состоятельной оценкой θ = М(Х) (в приведенной выше теореме Чебышёва предполагалось существование дисперсии D (X ); однако, как доказал А.Я. Хинчин , достаточно выполнения более слабого условия – существования математического ожидания М(Х) ).

Пример 4. Все указанные выше оценки параметров нормального распределения являются состоятельными.

Вообще, все (за редчайшими исключениями) оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются состоятельными.

Пример 5 . Так, согласно теореме В.И. Гливенко, эмпирическая функция распределения F n (x ) является состоятельной оценкой функции распределения результатов наблюдений F (x ).

При разработке новых методов оценивания следует в первую очередь проверять состоятельность предлагаемых методов.

Второе важное свойство оценок – несмещенность . Несмещенная оценка θ n – это оценка параметра θ, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра: М (θ n ) = θ.

Пример 6. Из приведенных выше результатов следует, что и являются несмещенными оценками параметров m и σ 2 нормального распределения. Поскольку М() = М(m ** ) = m , то выборочная медиана и полусумма крайних членов вариационного ряда m ** - также несмещенные оценки математического ожидания m нормального распределения. Однако

поэтому оценки s 2 и (σ 2 )** не являются состоятельными оценками дисперсии σ 2 нормального распределения.

Оценки, для которых соотношение М (θ n ) = θ неверно, называются смещенными. При этом разность между математическим ожиданием оценки θ n и оцениваемым параметром θ, т.е. М (θ n ) – θ, называется смещением оценки.

Пример 7. Для оценки s 2 , как следует из сказанного выше, смещение равно

М (s 2) - σ 2 = - σ 2 /n .

Смещение оценки s 2 стремится к 0 при n → ∞.

Оценка, для которой смещение стремится к 0, когда объем выборки стремится к бесконечности, называется асимптотически несмещенной . В примере 7 показано, что оценка s 2 является асимптотически несмещенной.

Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются либо несмещенными, либо асимптотически несмещенными. Для несмещенных оценок показателем точности оценки служит дисперсия – чем дисперсия меньше, тем оценка лучше. Для смещенных оценок показателем точности служит математическое ожидание квадрата оценки М (θ n – θ) 2 . Как следует из основных свойств математического ожидания и дисперсии,

т.е. математическое ожидание квадрата ошибки складывается из дисперсии оценки и квадрата ее смещения.

Для подавляющего большинства оценок параметров, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений, дисперсия имеет порядок 1/n , а смещение – не более чем 1/n , где n – объем выборки. Для таких оценок при больших n второе слагаемое в правой части (3) пренебрежимо мало по сравнению с первым, и для них справедливо приближенное равенство

где с – число, определяемое методом вычисления оценок θ n и истинным значением оцениваемого параметра θ.

С дисперсией оценки связано третье важное свойство метода оценивания – эффективность . Эффективная оценка – это несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра.

Доказано , что и являются эффективными оценками параметров m и σ 2 нормального распределения. В то же время для выборочной медианы справедливо предельное соотношение

Другими словами, эффективность выборочной медианы, т.е. отношение дисперсии эффективной оценки параметра m к дисперсии несмещенной оценки этого параметра при больших n близка к 0,637. Именно из-за сравнительно низкой эффективности выборочной медианы в качестве оценки математического ожидания нормального распределения обычно используют выборочное среднее арифметическое.

Понятие эффективности вводится для несмещенных оценок, для которых М (θ n ) = θ для всех возможных значений параметра θ. Если не требовать несмещенности, то можно указать оценки, при некоторых θ имеющие меньшую дисперсию и средний квадрат ошибки, чем эффективные.

Пример 8. Рассмотрим «оценку» математического ожидания m 1 ≡ 0. Тогда D (m 1 ) = 0, т.е. всегда меньше дисперсии D () эффективной оценки . Математическое ожидание среднего квадрата ошибки d n (m 1 ) = m 2 , т.е. при имеем d n (m 1 ) < d n (). Ясно, однако, что статистику m 1 ≡ 0 бессмысленно рассматривать в качестве оценки математического ожидания m .

Пример 9. Более интересный пример рассмотрен американским математиком Дж. Ходжесом:

Ясно, что T n – состоятельная, асимптотически несмещенная оценка математического ожидания m , при этом, как нетрудно вычислить,

Последняя формула показывает, что при m ≠ 0 оценка T n не хуже (при сравнении по среднему квадрату ошибки d n ), а при m = 0 – в четыре раза лучше.

Подавляющее большинство оценок θ n , используемых в вероятностно-статистических методах, являются асимптотически нормальными, т.е. для них справедливы предельные соотношения:

для любого х , где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Это означает, что для больших объемов выборок (практически - несколько десятков или сотен наблюдений) распределения оценок полностью описываются их математическими ожиданиями и дисперсиями, а качество оценок – значениями средних квадратов ошибок d n (θ n ).

Предыдущая

) задач математической статистики .

Предположим, что имеется параметрическое семейство распределений вероятностей (для простоты будем рассматривать распределение случайных величин и случай одного параметра). Здесь - числовой параметр, значение которого неизвестно. Требуется оценить его по имеющейся выборке значений, порожденной данным распределением.

Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы .

Точечное оценивание

Точечное оценивание - это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра приближается отдельным числом. То есть необходимо указать функцию от выборки (статистику)

,

значение которой будет рассматриваться в качестве приближения к неизвестному истинному значению .

К общим методам построения точечных оценок параметров относятся: метод максимального правдоподобия , метод моментов , метод квантилей .

Ниже приводятся некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать точечные оценки.

Состоятельность

Одно из самых очевидных требований к точечной оценке заключается в том, чтобы можно было ожидать достаточно хорошего приближения к истинному значению параметра при достаточно больших значениях объема выборки . Это означает, что оценка должна сходиться к истинному значению при . Это свойство оценки и называется состоятельностью . Поскольку речь идет о случайных величинах, для которых имеются разные виды сходимости, то и данное свойство может быть точно сформулировано по-разному:

Когда употребляют просто термин состоятельность , то обычно имеется в виду слабая состоятельность, т.е. сходимость по вероятности.

Условие состоятельности является практически обязательным для всех используемых на практике оценок. Несостоятельные оценки используются крайне редко.

Несмещенность и асимптотическая несмещенность

Оценка параметра называется несмещенной , если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

.

Более слабым условием является асимптотическая несмещенность , которая означает, что математическое ожидание оценки сходится к истинному значению параметра с ростом объема выборки:

.

Несмещенность является рекомендуемым свойством оценок. Однако не следует слишком переоценивать его значимость. Чаще всего несмещенные оценки параметров существуют и тогда стараются рассматривать только их. Однако могут быть такие статистические задачи, в которых несмещенных оценок не существует. Наиболее известным примером является следующий: рассмотрим распределение Пуассона с параметром и поставим задачу оценки параметра . Можно доказать, что для этой задачи не существует несмещенной оценки.

Сравнение оценок и эффективность

Для сравнения между собой различных оценок одного и того же параметра применяют следующий метод: выбирают некоторую функцию риска , которая измеряет отклонение оценки от истинного значения параметра, и лучшей считают ту, для которой эта функция принимает меньшее значение.

Чаще всего в качестве функции риска рассматривают математическое ожидание квадрата отклонения оценки от истинного значения

Для несмещенных оценок это есть просто дисперсия .

Существует нижняя граница на данную функцию риска, называемая неравенство Крамера-Рао .

(Несмещенные) оценки, для которых достигается эта нижняя граница (т.е. имеющие минимально возможную дисперсию), называются эффективными . Однако существование эффективной оценки есть довольно сильное требование на задачу, которое имеет место далеко не всегда.

Более слабым является условие асимптотической эффективности , которое означает, что отношение дисперсии несмещенной оценки к нижней границе Крамера-Рао стремится к единице при .

Заметим, что при достаточно широких предположениях относительно исследуемого распределения, метод максимального правдоподобия дает асимптотически эффективную оценку параметра, а если существует эффективная оценка - тогда он дает эффективную оценку.

Достаточные статистики

Статистика назвается достаточной для параметра , если условное распределение выборки при условии того, что , не зависит от параметра для всех .

Важность понятия достаточной статистики обуславливается следующим утверждением . Если - достаточная статистика, а - несмещенная оценка параметра , тогда условное математическое ожидание является также несмещенной оценкой параметра , причем ее дисперсия меньше или равна дисперсии исходной оценки .

Напомним, что условное математическое ожидание есть случайная величина, являющаяся функцией от . Таким образом, в классе несмещенных оценок достаточно рассматривать только такие, которые являются функциями от достаточной статистики (при условии, что такая существует для данной задачи).

(Несмещенная) эффективная оценка параметра всегда является достаточной статистикой.

Можно сказать, что достаточная статистика содержит в себе всю информацию об оцениваемом параметре, которая содержится в выборке .

Определение

Оценка параметра называется эффективной оценкой в классе , если для любой другой оценки выполняется неравенство для любого .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Олаф I Трюггвасон
• Кровь и шоколад

Смотреть что такое "Эффективная оценка" в других словарях:

эффективная оценка - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN efficient estimator … Справочник технического переводчика

эффективная оценка - efektyvusis įvertis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. efficient estimate; efficient estimator vok. effiziente Schätzung, f rus. эффективная оценка, f pranc. estimation effective, f … Automatikos terminų žodynas

Эффективная оценка - 2.22. Эффективная оценка Источник: ГОСТ 15895 77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА - несмещенная статистическая оценка, дисперсия к рой совпадает с нижней гранью в Рао Крамера неравенстве. Э. о. является достаточной статистикой для оцениваемого параметра. Если Э. о. существует, то ее можно получить с помощью метода максимального… … Математическая энциклопедия

АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА - понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич. эффективности оценки в подходящим образом выделенном классе оценок. Именно,… … Математическая энциклопедия

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ - оценка с минимальной для данного объема выборки дисперсией. О., обладающая аналогичным свойством при неограниченно возрастающем объеме выборки, называется асимптотически эффективной. Свойство эффективности должно учитываться в геологии в… … Геологическая энциклопедия

ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА - з в е з д ы (T э) параметр, характеризующий светимость звезды, т. е. полное кол во энергии, излучаемое звездой в единицу времени. Э. т. связана со светимостью L и радиусом звезды R соотношением L =4pR2sT4 э, где 4pR2 площадь поверхности звезды. Т … Физическая энциклопедия

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ - функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич.… … Математическая энциклопедия

Эффективная площадь рассеяния - Пример диаграммы моностатической ЭПР (B 26 Инвэйдер) Эффективная площадь рассеяния (ЭПР; англ. Radar Cross Section, RCS; в некоторых источниках эффективная поверхность рассеяния, эффективный поперечник рассеяния, эффективная по … Википедия

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ - СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ … Социология: Энциклопедия

Книги

• Оценка конкурентоспособности региональных инновационных продуктов на основе метода анализа иерархий , Р. Р. Харисова. Эффективная деятельность предприятия во многом зависит от того, насколько она адаптирована к внешней среде и в какой мере готова к нововведениям. В настоящее времябольшинством… Купить за 152 руб электронная книга
• 3000 примеров по русскому языку. Все правила орфографии. 1 класс. Как научиться быстро писать. Самая эффективная оценка знаний. Автоматизированность навыка , Узорова О., Нефедова Е.. В этом учебном пособии 3000 упражнений и заданий на повторение и закрепление всех тем, которые предусмотрены действующей программой по русскому языку для 1-го класса. Задания помогут…