Решение уравнения
Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения
Решение уравнения - задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:
.Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.
Виды уравнений
Различают алгебраические , параметрические , трансцендентные , функциональные , дифференциальные и другие виды уравнений.
Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.
К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение , квадратное уравнение , кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени . Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.
Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.
В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы . Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал , в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.
Примеры уравнений
См. также
Литература
- Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. - М., 1968.
- Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. - 2004. - № 1.
- Каплан Я. В. Рівняння. - Киев: Радянська школа, 1968.
- Уравнение - статья из Большой советской энциклопедии
- Уравнения // Энциклопедия Кольера. - Открытое общество. 2000.
- Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
- Уравнение // Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985.
Ссылки
- EqWorld - Мир математических уравнений - содержит обширную информацию о математических уравнениях и системах уравнений.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Антонимы :
- Хаджимба, Рауль Джумкович
- ЕС ЭВМ
Смотреть что такое "Уравнение" в других словарях:
УРАВНЕНИЕ - (1) математическая запись задачи о разыскании таких значений аргументов (см. (2)), при которых значения двух данных (см.) равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называют неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения… … Большая политехническая энциклопедия
УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, уравнения, ср. 1. Действие по гл. уравнять уравнивать и состояние по гл. уравняться уравниваться. Уравнение в правах. Уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке;… … Толковый словарь Ушакова
УРАВНЕНИЕ - (equation) Требование того, чтобы математическое выражение принимало определенное значение. Например, квадратное уравнение записывается в виде: ах2+bх+с=0. Решением является такие значения х, при котором данное уравнение становится тождеством. В… … Экономический словарь
УРАВНЕНИЕ - математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны,… … Большой Энциклопедический словарь
УРАВНЕНИЕ - УРАВНЕНИЕ, два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в тождество, или установить … Современная энциклопедия
Что такое уравнение?
Тем, кто делает первые шаги в алгебре, конечно, требуется максимально упорядоченная подача материала. Поэтому в нашей статье о том, что такое уравнение, мы не только дадим определение, но и приведём различные классификации уравнений с примерами.
Что такое уравнение: общие понятия
Итак, уравнение — это вид равенства с неизвестным, обозначаемым латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.Более подробно об этом вы можете прочитать в нашей статье , мы же продолжим разговор о самих уравнениях. Аргументами уравнения (или переменными) называются неизвестные, а решением уравнения называется нахождение всех его корней либо отсутствия корней.
Виды уравнений
Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные.
- Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия - 4 арифметических, а также возведение в степень и извлечение натурального корня.
- Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются неалгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.
Среди алгебраических уравнений выделяют также:
- целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;
- дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;
- иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня.
Заметим также, что дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений.
Трансцендентные уравнения подразделяются на:
- показательные — это такие уравнения, которые содержат переменную в показателе степени. Они решаются путём перехода к единому основанию или показателю степени, вынесением общего множителя за скобку, разложением на множители и некоторыми другими способами;
- логарифмические — уравнения с логарифмами, то есть такие уравнения, где неизвестные находятся внутри самих логарифмов. Решать такие уравнения весьма непросто (в отличие от, допустим, большинства алгебраических), поскольку для этого требуется солидная математическая подготовка. Самое важное здесь — перейти от уравнения с логарифмами к уравнению без них, то есть упростить уравнение (такой способ удаления логарифмов называется потенцированием). Разумеется, потенцировать логарифмическое уравнение можно только в том случае, если они имеют тождественные числовые основания и не имеют коэффициентов;
- тригонометрические — это уравнения с переменных под знаками тригонометрических функций. Их решение требует первоначального освоения тригонометрических функций;
- смешанные — это дифференцированные уравнения с частями, принадлежащими к различным типам (например, с параболической и эллиптической частями или эллиптической и гиперболической и т.д.).
Что касается классификации по числу неизвестных, то здесь всё просто: различают уравнения с одним, двумя, тремя и так далее неизвестными. Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями 1-й степени, квадратные — 2-й, а кубические, соответственно, 3-й. Ну а теперь приведём примеры уравнений той или иной группы.
Примеры различных типов уравнений
Примеры алгебраических уравнений:
- ax + b= 0
- ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0
- ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
(a не равно 0)
Примеры трансцендентных уравнений:
- cos x = x lg x = x−5 2 x = lgx+x 5 +40
Примеры целых уравнений:
- (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4
Пример дробных уравнений:
- 15 x + — = 5x - 17 x
Пример иррациональных уравнений:
- √2kf(x)=g(x)
Примеры линейных уравнений:
- 2х+7=0 х - 3 = 2 - 4х 2х+3=5х+5 - 3х - 2
Примеры квадратных уравнений:
- x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0
Примеры кубических уравнений:
- x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0
Примеры показательных уравнений:
- 5 х+2 = 125 3 х ·2 х = 8 х+3 3 2х +4·3 х -5 = 0
Примеры логарифмических уравнений:
- log 2 x= 3 log 3 x= -1
Примеры тригонометрических уравнений:
- 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tg 3 x = ctg 4 x
Примеры смешанных уравнений:
- log х (log 9 (4⋅3 х −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13
Осталось добавить, что для решения уравнений различных типов применяются самые разные методы. Ну а чтобы решать практически любые уравнения, потребуются знания не только алгебры, но также и тригонометрии, причём нередко знания весьма глубокие.
УРАВНЕНИЯ
Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x - 1)2 = (x - 1)(x - 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается "тождественно равно". Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями. Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17. Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.
ТИПЫ УРАВНЕНИЙ
Алгебраические уравнения.
Уравнения вида fn = 0, где fn - многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида fn = a0 xiyj... vk + a1 xlym... vn + ј + asxpyq... vr, где x, y, ..., v - переменные, а i, j, ..., r - показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так: f(x) = a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an или, в частном случае, 3x4 - x3 + 2x2 + 4x - 1.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) = 0. Если a0 № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 - уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени - кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.
Трансцендентные уравнения.
Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:
Где lg - логарифм по основанию 10.
Дифференциальные уравнения.
Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.
Интегральные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.
Диофантовы уравнения.
Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x - 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.
Линейные уравнения.
Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом. 1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны. 2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны. 3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны. 4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны. Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Квадратные уравнения.
Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Другие алгебраические уравнения.
Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители. Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 - x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:
Таким образом, корни равны x = -1,
Системы линейных уравнений.
Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде
Решение такой системы находится с помощью определителей
Оно имеет смысл, если
>
>>">
>">
и
отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации - система
">
Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей
и
отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации - система
(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений. Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:
Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:
где Aji - алгебраическое дополнение элемента aij в матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r - ранг матрицы (aij), s - ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда: (1) если r = s, то существует n - r линейно независимых решений; (2) если r
См. также
АЛГЕБРА .
Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .
Смотреть что такое "УРАВНЕНИЯ" в других словарях:
Уравнение равенство вида или, где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… … Википедия
уравнения - решать дифференциальные уравнения решение … Глагольной сочетаемости непредметных имён
Уравнения Эйлера Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… … Википедия
Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая меха … Википедия
- (англ. RANS (Reynolds averaged Navier Stokes)) уравнения Навье Стокса (уравнения движения вязкой жидкости) осредненные по Рейнольдсу. Используются для описания турбулентных течений. Метод осреднения Рейнольдса заключается в замене случайно… … Википедия
Уравнения Эйлера Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия,… … Википедия
Уравнения Прока обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде, где антисимметричный тензор электромагнитного поля … Википедия
Получив общее представление о равенствах , и познакомившись с одним из их видов - числовыми равенствами , можно начать разговор еще об одном очень важном с практической точки зрения виде равенств - об уравнениях. В этой статье мы разберем, что такое уравнение , и что называют корнем уравнения. Здесь мы дадим соответствующие определения, а также приведем разнообразные примеры уравнений и их корней.
Навигация по странице.
Что такое уравнение?
Целенаправленное знакомство с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе. В это время дается следующее определение уравнения :
Определение.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p , t , u и т.п., но наиболее часто используются буквы x , y и z .
Таким образом, уравнение определяется с позиции формы записи. Иными словами, равенство является уравнением, когда подчиняется указанным правилам записи – содержит букву, значение которой нужно найти.
Приведем примеры самых первых и самых простых уравнений. Начнем с уравнений вида x=8 , y=3 и т.п. Чуть сложнее выглядят уравнения, содержащие вместе с числами и буквами знаки арифметических действий, например, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .
Разнообразие уравнений растет после знакомства со – начинают появляться уравнения со скобками, например, 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3 . Неизвестная буква в уравнении может присутствовать несколько раз, к примеру, x+3+3·x−2−x=9 , также буквы могут быть в левой части уравнения, в его правой части, или в обеих частях уравнения, например, x·(3+1)−4=8 , 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .
Дальше после изучения натуральных чисел происходит знакомство с целыми, рациональными, действительными числами, изучаются новые математические объекты: степени, корни, логарифмы и т.д., при этом появляются все новые и новые виды уравнений, содержащие эти вещи. Их примеры можно посмотреть в статье основные виды уравнений , изучающиеся в школе.
В 7 классе наряду с буквами, под которыми подразумевают некоторые конкретные числа, начинают рассматривать буквы, которые могут принимать различные значения, их называют переменными (смотрите статью ). При этом в определение уравнения внедряется слово «переменная», и оно становится таким:
Определение.
Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, уравнение x+3=6·x+7 – уравнение с переменной x , а 3·z−1+z=0 – уравнение с переменной z .
На уроках алгебры в том же 7 классе происходит встреча с уравнениями, содержащими в своей записи не одну, а две различные неизвестные переменные. Их называют уравнениями с двумя переменными. В дальнейшем допускают присутствие в записи уравнений трех и большего количества переменных.
Определение.
Уравнения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.
Например, уравнение 3,2·x+0,5=1 – это уравнение с одной переменной x , в свою очередь уравнение вида x−y=3 – это уравнение с двумя переменными x и y . И еще один пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Понятно, что такое уравнение – это уравнение с тремя неизвестными переменными x , y и z .
Что такое корень уравнения?
С определением уравнения непосредственно связано определение корня этого уравнения. Проведем некоторые рассуждения, которые нам помогут понять, что такое корень уравнения.
Допустим, перед нами находится уравнение с одной буквой (переменной). Если вместо буквы, входящей в запись этого уравнения, подставить некоторое число, то уравнение обратиться в числовое равенство. Причем, полученное равенство может быть как верным, так и неверным. Например, если вместо буквы a в уравнение a+1=5 подставить число 2 , то получится неверное числовое равенство 2+1=5 . Если же мы в это уравнение подставим вместо a число 4 , то получится верное равенство 4+1=5 .
На практике в подавляющем большинстве случаев интерес представляют такие значения переменной, подстановка которых в уравнение дает верное равенство, эти значения называют корнями или решениями данного уравнения.
Определение.
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Отметим, что корень уравнения с одной переменной также называют решением уравнения. Другими словами, решение уравнения и корень уравнения – это одно и то же.
Поясним это определение на примере. Для этого вернемся к записанному выше уравнению a+1=5 . Согласно озвученному определению корня уравнения, число 4 есть корень этого уравнения, так как при подстановке этого числа вместо буквы a получаем верное равенство 4+1=5 , а число 2 не является его корнем, так как ему отвечает неверное равенство вида 2+1=5 .
На этот момент возникает ряд естественных вопросов: «Любое ли уравнение имеет корень, и сколько корней имеет заданное уравнение»? Ответим на них.
Существуют как уравнения, имеющие корни, так и уравнения, не имеющие корней. Например, уравнение x+1=5 имеет корень 4 , а уравнение 0·x=5 не имеет корней, так как какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо переменной x , мы получим неверное равенство 0=5 .
Что касается числа корней уравнения, то существуют как уравнения, имеющие некоторое конечное число корней (один, два, три и т.д.), так и уравнения, имеющие бесконечно много корней. Например, уравнение x−2=4 имеет единственный корень 6 , корнями уравнения x 2 =9 являются два числа −3 и 3 , уравнение x·(x−1)·(x−2)=0 имеет три корня 0 , 1 и 2 , а решением уравнения x=x является любое число, то есть, оно имеет бесконечное множество корней.
Пару слов стоит сказать о принятой записи корней уравнения. Если уравнение не имеет корней, то обычно так и пишут «уравнение не имеет корней», или применяют знак пустого множества ∅. Если уравнение имеет корни, то их записывают через запятую, или записывают как элементы множества в фигурных скобках. Например, если корнями уравнения являются числа −1 , 2 и 4 , то пишут −1 , 2 , 4 или {−1, 2, 4} . Допустимо также записывать корни уравнения в виде простейших равенств. Например, если в уравнение входит буква x , и корнями этого уравнения являются числа 3 и 5 , то можно записать x=3 , x=5 , также переменной часто добавляют нижние индексы x 1 =3 , x 2 =5 , как бы указывая номера корней уравнения. Бесконечное множество корней уравнения обычно записывают в виде , также при возможности используют обозначения множеств натуральных чисел N , целых чисел Z , действительных чисел R . Например, если корнем уравнения с переменной x является любое целое число, то пишут , а если корнями уравнения с переменной y является любое действительное число от 1 до 9 включительно, то записывают .
Для уравнений с двумя, тремя и большим количеством переменных, как правило, не применяют термин «корень уравнения», в этих случаях говорят «решение уравнения». Что же называют решением уравнений с несколькими переменными? Дадим соответствующее определение.
Определение.
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.
Покажем поясняющие примеры. Рассмотрим уравнение с двумя переменными x+y=7 . Подставим в него вместо x число 1 , а вместо y число 2 , при этом имеем равенство 1+2=7 . Очевидно, оно неверное, поэтому, пара значений x=1 , y=2 не является решением записанного уравнения. Если же взять пару значений x=4 , y=3 , то после подстановки в уравнение мы придем к верному равенству 4+3=7 , следовательно, эта пара значений переменных по определению является решением уравнения x+y=7 .
Уравнения с несколькими переменными, как и уравнения с одной переменной, могут не иметь корней, могут иметь конечное число корней, а могут иметь и бесконечно много корней.
Пары, тройки, четверки и т.д. значений переменных часто записывают кратко, перечисляя их значения через запятую в круглых скобках. При этом записанные числа в скобках соответствуют переменным в алфавитном порядке. Поясним этот момент, вернувшись к предыдущему уравнению x+y=7 . Решение этого уравнения x=4 , y=3 кратко можно записать как (4, 3) .
Наибольшее внимание в школьном курсе математики, алгебры и начал анализа уделяется нахождению корней уравнений с одной переменной. Правила этого процесса мы очень подробно разберем в статье решение уравнений .
Список литературы.
- Математика . 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М.: Просведение, 2012. - 96 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.