Пример

Подсчет средних характеристик

Одноканальные СМО с ожиданием

Такие системы при условии, что нет ограничений на длину очереди, имеют бесчисленное множество состояний:

Е 0 , Е 1 , Е 2 , Е 3 , ...

Е 0 – в системе 0 требований (система свободна);

Е 1 – в системе 1 требование (система занята);

Е 2 – в системе 1 требование, и одно требование ожидает в очереди;

Е 3 – в системе 1 требование, и два требования ожидают в очереди и т. д.

P 0 = 1-φ, φ = λ/μ.

Следовательно,

P k = (1-φ)φ k , k = 1, 2, ….

Условие φ > 0 является необходимым и достаточным для наличия стационарного режима работы системы.

Интересно знать, почему стационарный режим существует только при этом условии?

Это условие означает, что среднее число требований, поступивших в СМО, меньше, чем интенсивность самого обслуживания; поэтому система успевает ритмично работать. Теперь ясно, почему система не может работать при условии, когда коэффициент загрузки больше 1. Но почему нет установившегося режима, когда коэффициент загрузки равен 1? Ведь в этом случае, сколько в среднем требований поступает в СМО, столько в среднем и обслуживается. Однако требования поступают в систему неравномерно, и время их обслуживания тоже колеблется, так что могут быть и простои, и перегрузки. Вот поэтому при таком условии не поддерживается стационарный режим.

При изучении СМО важнейшими являются средние значения (математические ожидания) таких случайных величин:

n – количество требований, находящихся в системе;

v – длина очереди;

w – время ожидания в очереди.

Ниже их формулы:

v = φ 2 /(1-φ);

w = [φ/(1-φ)]*.

Интенсивность потока автомобилей, поступающих на моечную станцию (одноканальная СМО) – 4 автомобиля в час, а интенсивность обслуживания – 5 автомобилей в час. Предполагая, что станция работает в стационарном режиме, найти среднее число автомобилей, находящихся на станции, среднюю длину очереди и среднее время ожидания обслуживания.

Решение

Определяем коэффициент загрузки системы:

n = 0,8/(1-0,8) = 4;

v = 4*0,8 = 3,2;

Сделаем следующие предположения относительно таких систем:

· входной поток пуассоновский;

· время обслуживания распределено по экспоненциальному закону;

· время обслуживания не зависит от входного потока;

· все линии обслуживания работают независимо.

Будем считать, что система содержит некоторое количество линий обслуживания s. Она может находиться в состояниях Е 0 , Е 1 , Е 2 , Е 3 , ... Е S . Расчёт переходных вероятностей показывает, что из каждого из свободных состояний система может переходить в соседнее состояние, либо в такое же, в каком была.

Для нахождения вероятностей используется следующая формула:

P k = φ k /k!*P 0 , φ = λ/μ, где k = 1, 2, ...

Так как сумма всех вероятностей составляет 1, то

Отсюда следуют формулы:

Увеличение коэффициента загрузки системы ведет к увеличению вероятности отказа системы. Это не устраивает потребителей. Уменьшение вероятности отказа системы может быть достигнуто за счёт увеличения количества линий обслуживания.

Однако резкое увеличение количества линий не устраивает организатора, потому что ведёт к дополнительным затратам на приобретение новых линий обслуживания, и увеличивает вероятность простоя линий. Расчет показывает, что среднее число свободных линий обслуживания

ρ = s-φ(1-P s).

Теперь ясно, что при сильном увеличении количества линий обслуживания, увеличится среднее число простаивающих линий.

Таким образом, мы имеем дело с двумя противоположными тенденциями. Задача сводится к выбору оптимального варианта. С этой целью будем минимизировать функцию стоимости СМО – С(s). Если через с 1 мы обозначим стоимость одного отказа (организатор системы платит штраф за каждый отказ), а через с 2 – стоимость простоя одной линии за единицу времени, то функция стоимости будет иметь следующий вид:

C(s) = c 1 λP s +c 2 ρ.

Или в развернутом виде:

Сначала с увеличением s она убывает, а затем растёт. Наша задача состоит в том, чтобы найти её минимум.

Ниже будут рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах.

Одноканальная смо с отказами

Дано : система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях:S 0 – канал свободен;S 1 – канал занят. Переход изS 0 вS 1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход изS 1 вS 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.4).

Рис.4. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками -);

–интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания )

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения: и.

Пример . Технологическая система состоит из одного станка. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа. Среднее время изготовления одной детали равно. Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.

Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.

.

Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.

N – канальная смо с отказами (задача Эрланга)

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Дано : в системе имеетсяn – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времениt , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение . Состояние системыS (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

S 0 – в СМО нет ни одной заявки;

S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

S n – в СМО находитсяn – заявок (всеn – каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 5

Рис.5 Граф состояний для n – канальной СМО с отказами

Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S 0 в состояниеS 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью(как только приходит заявка, система переходит изS 0 вS 1). Если система находилась в состоянииS 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояниеS 2 и т.д.

Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производитобслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состоянияS 1 в состояниеS 0 нагружена интенсивностью. Пусть теперь система находится в состоянииS 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти вS 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равнаи т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность :

где n – количество каналов СМО;

–вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0);

Рис.6. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.6

Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):

Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

S 1 , когда один канал занят:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 2 , т.е. когда два канала заняты:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S n , т.е. когда все каналы заняты.

Теперь для n – канальной СМО с отказами

Относительная пропускная способность:

Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой. При этом

Вероятность отказа :

Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной. Очевидно, что .

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно):

Рассмотрим -канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:

Все каналы свободны,

Занят ровно один канал, остальные свободны,

Заняты ровно k каналов, остальные свободны,

Заняты все каналов.

Граф состояний СМО представлен на рис. 5.3. Разметим граф, т. е. проставим у стрелок интенсивности соответствующих потоков событий.

По стрелкам слева направо систему переводит один и тот же поток - ноток заявок с интенсивностью к. Если система находится в состоянии (занято k каналов) и пришла новая заявка, система переходит (перескакивает) в состояние

Определим интенсивности потоков событий, переводящих систему по стрелкам справа налево.

Пусть система находится в состоянии 5, (занят один канал). Тогда, как только закончится обслуживание заявки, занимающей этот канал, система перейдет в значит, поток событий, переводящий систему по стрелке имеет интенсивность Очевидно, если обслуживанием занято два канала, а не один, поток обслуживание переводящий систему но стрелке будет вдвое интенсивнее если занято k каналов в k раз интенсивнее Проставим соответствующие интенсивности у стрелок, ведущих справа налево.

Из рис. 5.3 видно, что процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса гибели и размножения, рассмотренного нами в § 8 гл. 4.

Пользуясь общими правилами, можно составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Уравнения (4.1) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями для их решения являются:

(в начальный момент система свободна).

Интегрирование системы уравнений (4.1) в аналитическом виде довольно сложно; на практике такие системы дифференциальных уравнений обычно решаются численно, на АВМ или ЭЦВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний

как функции времени.

Естественно, нас больше всего будут интересовать предел -ные вероятности состояний характеризующие установившийся режим работы СМО (при ). Для нахождения предельных вероятностей воспользуемся уже готовым решением задачи, полученным для схемы гибели и размножения в § 8 гл. 4. Согласно этому решению,

В этих формулах интенсивность потока заявок и интенсивность потока обслуживаний (для одного канала) не фигурируют по отдельности, а входят только своим отношением Обозначим это отношение

и будем называть величину р «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл ее таков: величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.

С учетом этого обозначения, формулы (4.2) примут вид:

Формулы (4.3) называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависимости от параметров ( - интенсивность потока чаявок, - интенсивность обслуживания, п - число каналов СМО).

Зная все вероятности состояний

можно найти характеристики эффективности СМО: относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А и вероятность отказа .

Действительно, заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналов заняты. Вероятность этого равна

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же относительная пропускная способность q) дополняет Яотк до единицы:

Абсолютная пропускная способность:

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число

Величину k можно вычислить непосредственно через вероятности по формуле:

как математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значения с вероятностями Однако значительно проще выразить среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способность А, которую мы уже знаем. Действительно, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени-, один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени заявок; среднее число занятых каналов получится делением А на

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительную пропускную способность, т.е.

Среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

/’отк. - вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

к - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы). Одноканальная система с отказами. Рассмотрим задачу.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с ин­тенсивностью X. Поток обслуживании имеет интенсивность р. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет два состояния: 6о - канал свободен, iS) - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 15.6.

кро - Ц/>1, V-P\ - kp0,

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормиро­вочное условие ра + />1=1, найдем из (15.18) предельные вероятно­сти состояний

15.5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизи­онном ателье поступают с интенсивностью X, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону / 0б.=2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем Х=90 (1/ч), ґ 0б=2 мин. Интенсивность по­тока обслуживании |д.=1/Г об.” 1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч). По (15.20) относительная пропускная способность СМО 0=ЗО/(9О+ЗО)=О,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят пере­говоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслу­живании составит /отк=0,75 (см. (15.21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (15.29) Л=900,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами. Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с ин­тенсивностью X. Поток обслуживании имеет интенсивность ц. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели № эффективности.

Система 5 (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их то числу заявок, находящихся в системе): 5о, і’г, -, ... Эп,

Где Э/с - состояние системы, когда в ней находится к заявок, т.е. іанято к каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и раз­множения и показан на рис. 15.7.

Р\=РРо, Р2=^Ро, > Рк=^Ро, Рп~Ро- (15.26)

Формулы (15.25) и (15.26) для предельных вероятностей полу­чили названия формул Эрланга в честь основателя теории массо­вого обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т.е.

0 = 1-Р07К = 1-£Ро.

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов к есть математическое ожи­дание числа занятых каналов:

где рк - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (15.25), (15.26).

^ 15.6. В условиях задачи 15.5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оп­тимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле

(15.25) р=90/30=3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора I „б=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) л=2, 3, 4, ... и определим по формулам (15.25), (15.28),

(15.29) для получаемой л-канальной СМО характеристики обслу­живания. Например, при п = 2 р0=^1 + 3 + 32/2!) = 0,118 » 0,12;

б = 1 - (з2/2!)- 0,118 = 0.471 * 0,47 ; Л=900,471=42,4 и т.д. Значение характеристик СМО сведем в табл. 15.1.

Таблица 15.1

По условию оптимальности 0 £ 0,9, следовательно, в телевизи­онном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае 0 = 0,90 - см. табл. 15.1). При этом в час будут об­служиваться в среднем 80 заявок (А = 80,1), а среднее число заня­тых телефонных номеров (каналов) по формуле (15.30) к = = 80,1/30 = 2,б7>

1> 15.7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ

не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию п=3* А,=0,25 (1/ч), Г0б=3 (ч). Интен­сивность потока обслуживаний ц= 1/ 0б.=1 /3=0,33. Интенсив­ность нагрузки ЭВМ по формуле (15.24) р=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:

по формуле (15.25) р0=(1+0,75+0,752/2!+0,753/3!)"*=0,476;

по формуле (15.26) ^1=0,750,476=0,357; /?2=(0»752/2!) 0,47б= =0,134; рз=(0,753/3!) 0,476=0,033, т.е. в стационарном режиме ра­боты вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким обра­зом, Яотк=рз=0,033.

По формуле (15.28) относительная пропускная способность центра 0 = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (15.29) абсолютная пропускная способность цен­тра А = 0,25-0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.

По формуле (15.30) среднее число занятых ЭВМ к = = 0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслу­живанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 = 24,2%.

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потеря­ми от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас вы­сокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - зна­чительный простой каналов обслуживания) и выбрать компро­миссное решение.

Система Эрланга
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
P отк. - вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
- среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).
Одноканальная система с отказами . Рассмотрим задачу.
Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ 1 . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет два состояния: S 0 - канал свободен, S 1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.

Рис. 6
В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид.
(18)
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p 0 +p 1 =1, найдем из (18) предельные вероятности состояний
(19)
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S 0 (когда канал свободен) и S 1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P отк:
(20)
(21)
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов
(22)
Задача 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону об. =2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решение. Имеем λ=90 (1/ч), об. =2 мин. Интенсивность потока обслуживании μ=1/ об =1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО (Q=30/(90+30)=0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит Р отк. =0,75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) ,A=90∙0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Многоканальная система с отказами . Рассмотрим классическую задачу Эрланга.
Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , …, S n , где S k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.
Граф состояний СМОсоответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.

Рис. 7
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S 2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние. S 1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2μ. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S 3 (три канала заняты) в S 2 . будет иметь интенсивность Зμ, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
(23)
где членыразложения будут представлять собой коэффициенты приp 0 в выражениях для предельных вероятностей p 1 , p 2 , …, p k , …, p n . Величина
(24)
называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
(25) есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
(30)
или, учитывая (29), (24):
(31)