2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество .

Точка называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что .

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат , то множество называет­ся замкнутым.

Таким образом, множество замкнуто, если из того, что и , следует, что .

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть есть функция, определенная и непрерывная на и - любое число.

Множества 1) , 2) , 3) замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть и ; тогда и . Но тогда и , т.е. .

Пример 2. Шар V= есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция определена и непрерывна на .

Отметим, что если- замкнутое множество, то - открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в существовала бы точка ,которая не есть внутренняя точка . Выходит, что, каково бы ни было натуральное число , должна найтись точка, для которой

Мы получили бы последовательность точек , . Но по условию замкнуто, и потому . Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если - открытое множество, то - замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последова­тельность точек , и . Но - открытое множество, и можно покрыть шаром с центром в ней, полностью при­надлежащим . Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки .

Пример 3. Пусть - непрерывная функция. 1) множество замкнуто, а открыто. 2) множество замкнуто, а открыто.

Если задано произвольное непустое множество , отличное от , то можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

,

где - совокупность внутренних точек - это открытое ядро , - совокупность внутренних точек - это открытое ядро , - совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для , но и не есть внутренняя для . Такие точки называются граничными точками , а называется границей ; открыто, открыто, + тоже открыто, = замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку множества можно определить как такую точку , что любой шар с центром в ней содержит как точки , так и точки . Сама точка может принадлежать и не принадлежать .

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств , входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть ; тогда , - открытое ядро, - открытое ядро ,- граница (не принадлежит ).

Пример 5. - множество точек с рациональными координатами. - открытое ядро - пустое множество, - открытое ядро - пустое множество, - граница .

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве .

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть и - замкнутые множества, и . В последовательности существует бесконечная частичная последовательность , состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например . Но тоже стремится к , и так как замкнуто, то , а потому .

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть и все замкнуты. Если и , то все при любом , а потому и при любом . Следовательно, , и замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества , заключающаяся в присоединении к множеству пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается и называется замыканием множества .

В замыканием интервала , будет отрезок . Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение , но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка представима в виде , где .

Лемма 2: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было , существовала такая точка , что .

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание есть наименьшее замкнутое множество, содержащее .

Пусть . Если к множеству добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием и обозначим его так: .

У замкнутого множества предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка есть внутренняя точка множества . Таким образом, если - замкнутое множество, то .

Точка называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.

Задачи и методы калибровки камер

Калибровка камер состоит в определении значений элементов внутреннего ориентирования камеры и систематических ошибок оптической системы, вызванных главным образом дисторсией объектива.

Элементами внутреннего ориентирования являются фокусное расстояние (f ) и координаты главной точки (x o , y o ).

Для камер имеющих координатные метки, определяют также их координаты.

Систематические ошибки оптической системы определяют отличия реальной физической системы от ее математической модели. Дисторсия объектива влияет на геометрию центрального проектирования, и как следствие не выполняется принцип коллинеарности (нарушается центральная проекция изображения)

Различают два типа дисторсии объектива: радиальную и тангенциальную. Радиальная дисторсия намного превышает тангенсальную, поэтому, как правило, определяют только радиальную дисторсию. На практике, фотокамеры, изготовленные специально для фотограмметрических измерений имеют объективы с очень маленькой дисторсией, поэтому в процессе калибровки достаточно бывает определить только фокусное расстояние и координаты главной точки. Для современных цифровых камер, главной проблемой является низкое качество изготовления объектива, связанное с большой дисторсией (может достигать 100мкм и более) и не центрирование отдельных элементов объектива, что приводит к неперпендикулярности главного оптического луча к плоскости изображения. Поэтому при калибровке таких камер целесообразно определять не только радиальную дисторсию, но и децентрацию оптической системы (нецентрированная или тангенциальная дисторсия объектива).

Дисторсия объектива может быть описана различными уравнениями, например:

Где d x , d y – поправки в координаты точек снимка за дисторсию объектива; x,y – координаты точек снимка; k 1 ,k 2 ,k 3 – коэффициенты радиальной дисторсии; p 1 ,p 2 – коэффициенты нецентрированной дисторсии объектива; r 0 – радиус- вектор, соответствующий нулевой дисторсии; r – расстояние от главной точкиx o , y o :

Существует три метода калибровки камер:

· Калибровка с помощью многокалиматорного калибратора

· Калибровка с помощью тест объекта.

· Самокалибровка.

Калибровка с помощью многокалиматорного калибратора выполняется на специальном устройстве, которое позволяет определить элементы внутреннего ориентирования камеры в лабораторных условиях. Этот метод в настоящее время редко используется, из-за необходимости иметь дорогостоящее оборудование.

Калибровка с помощью тест-объекта основана на вычислении параметров калибровки по результатам измерений координат точек снимков тест-объекта. Тест-объект представляет собой специальный объект с множеством точек с известными координатами.

Самокалибровка это метод калибровки камеры, который позволяет определять параметры калибровки в процессе фототриангуляции, выполняемой по снимкам реальной съемки.

Рассмотрим более подробно два последних метода, как наиболее употребимых.

Калибровка камер с помощью пространственного тест-объекта

Этот метод основан на съемке тест-объекта. На рис.8.1 показан пример в виде пространственной фигуры, на которой маркируются точки. Координаты этих точек определяются с необходимой точностью одним из геодезических методов.

Рис.8.1

После съемки этого объекта исследуемой камерой решается обратная засечка, на основе расширенных уравнений коллинеарности:

(8.3)

где d x ,d y – поправки в координаты точек снимка за дисторсию объектива, вычисляемые по (8.1) или (8.2). В качестве неизвестных в уравнениях (8.3) выступают элементы внутреннего f,x o ,y o , и внешнего ориентирования X S ,Y S ,Z S , w,a,k и коэффициенты дисторсии k 1 ,k 2 ,k 3, p 1 ,p 2 . Для их определения составляют эти уравнения по измеренным координатам точек снимка x,y и координатам X,Y,Z соответствующих точек тест-объекта.Задача решается по способу наименьших квадратов, методом последовательных приближений.

Для камер, в которых происходит преобразование видеосигнала в цифровую форму, рекомендуется добавить к уравнениям (8.3) коэффициенты аффинного преобразования а 1 иа 2 , то есть:

(8.4)

Чтобы решить проблему калибровки камеры корректно и надежно на основе уравнений (8.3) и (8.4) большое значение имеет тест-объект (размеры, количество точек и точность их координат) и метод его съемки. Съемку следует выполнять таким образом, чтобы точки объекта покрывали всю площадь снимка (рис. 8.5)

Размеры тест-объекта зависят от типа камеры, подлежащей калибровке, т.е. зависят от оптимальных отстояний Y S съемки, для которых предназначена данная камера. Если приблизительно известно это отстояние и фокусное расстояние камеры, то можно вычислить размеры тест-объекта из рис. 8.5. В качестве теста можно использовать фасад здания, на котором маркируются с большой густатой опорные точки. Что касается распределения точек, то их следует располагать равномерно по всей площади в плоскости, параллельной плоскости снимка (так, чтобы покрыть весь снимок точками для надежного определения коэффициентов дисторсии объектива) и в перпендикулярном направлении (по глубине) для определения фокусного рассояния камеры.

На рис. 8.6 показаны примеры тест-объектов.

Если опорные точки тест-объекта будут находиться в одной плоскости, то в следствии корреляции фокусного расстояния f с отстоянием Y S при решении обратной засечки приводит к неопределенности решения. Это обстоятельство поясняет рис. 8.7.

Рис.8.8

Очевидно, что чем больше третье измерение объекта (h ), тем более надежно решение. Из экспериментальных исследований известно, что отношение h/Y S не должно быть меньше чем 1/5.

Точность координат точек тест-объекта с которой их следует определять, можно подсчитать по простой формуле:

где d x – точность с которой необходимо определить параметры калибровки. Предположим, что d x =0.001mm, фокусное расстояние камеры примерно равно f =100mm, съемка будет выполняться с расстояния Y S =30m, тогда d X = 0.1mm

Калибровка камер состоит в определении значений элементов внутреннего ориентирования камеры и систематических ошибок оптической системы, вызванных главным образом дисторсией объектива.

Элементами внутреннего ориентирования являются фокусное расстояние (f ) и координаты главной точки (x o , y o ).

Для камер имеющих координатные метки, определяют также их координаты.

Систематические ошибки оптической системы определяют отличия реальной физической системы от ее математической модели. Дисторсия объектива влияет на геометрию проектирования, и как следствие не выполняется принцип коллинеарности (нарушается центральная проекция изображения)

Различают два типа дисторсии объектива: радиальную и тангенциальную. Радиальная дисторсия намного превышает тангенсальную, поэтому, как правило, определяют только радиальную дисторсию. На практике, современные метрические камеры имеют объективы с очень маленькой дисторсией, поэтому в процессе калибровки достаточно бывает определить только элементы внутреннего ориентирования. Для неметрических камер, главной проблемой является низкое качество изготовления объектива, связанное с большой дисторсией (может достигать 100мкм и более) и не центрирование отдельных элементов объектива, что приводит к неперпендикулярности главного оптического луча к плоскости изображения. Поэтому при калибровке таких камер целесообразно определять не только радиальную дисторсию, но и децентрацию оптической системы (нецентрированная или тангенциальная дисторсия объектива).

Дисторсия объектива может быть описана различными уравнениями, например:

Где d x , d y – поправки в координаты точек снимка за дисторсию объектива; x,y – координаты точек снимка; k 1 ,k 2 ,k 3 – коэффициенты радиальной дисторсии; p 1 ,p 2 – коэффициенты нецентрированной дисторсии объектива; r 0 – радиус- вектор, соответствующий нулевой дисторсии; r – расстояние от главной точки x o , y o :

Существует три метода калибровки камер:

Калибровка с помощью многокалиматорного калибратора

Калибровка с помощью тест объекта.

Самокалибровка.

Калибровка с помощью многокалиматорного калибратора выполняется на специальном устройстве, которое позволяет определить элементы внутреннего ориентирования камеры в лабораторных условиях. Этот метод в настоящее время редко используется, из-за необходимости иметь дорогостоящее оборудование.

Калибровка с помощью тест-объекта основана на вычислении параметров калибровки по результатам измерений координат точек снимков тест-объекта. Тест-объект представляет собой специальный объект с множеством точек с известными координатами.

Самокалибровка это метод калибровки камеры, который позволяет определять параметры калибровки в процессе фототриангуляции, выполняемой по снимкам реальной съемки.

Рассмотрим более подробно два последних метода, как наиболее употребимых.

8.2. Калибровка с помощью тест-объекта

Этот метод основан на съемке тест-объекта. На рис.8.1 показан пример в виде пространственной фигуры, на которой маркируются точки. Координаты этих точек определяются с необходимой точностью одним из геодезических методов.

Теория предельного дохода гласит: если понемногу претворять в жизнь небольшие изменения в каждом аспекте вашей деятельности, то результирующее улучшение будет весьма впечатляющим. Эту теорию легко применить и к фотографическому рабочему процессу.

Travel-фотографу, коим я и являюсь, приходится делать огромное количество фотографий с совершенно разными сюжетами. Из недавней двухдневной поездки в Бельгию я привез около двух тысяч фото. И если вы любите вдумчиво просматривать и сортировать карточки на компьютере за чашечкой кофе, то даже нескольких дней вам может не хватить на то, чтобы обработать весь фотосет. В таком случае оптимальный вариант – добиться максимального сходства камерного JPEG с реальной картинкой, а на постобработку тратить минимум времени.

Один из способов такой экономии времени на обработке за компьютером – калибровка вашего фотоаппарата. Вы наверняка слышали о том, что в цифровой фотографии принято калибровать мониторы для того, чтобы добиться точной цветопередачи. Более того, некоторые скрупулезные личности калибруют даже принтеры - те, кому важно стопроцентное совпадение изображения на экране и на бумаге. Однако, далеко не все задумываются о такой вещи, как калибровка камеры.

Принцип калибровки, вне зависимости от устройства, одинаков. Вы создаете специальный профиль для своего устройства, и специальное программное обеспечение, предназначенное для управления цветом, вносит соответствующие поправки в изображение на выходе. Ведь что такое калибровка, скажем, монитора? Вы просто измеряете то, насколько цветопередача вашего экземпляра отклоняется от эталона, и вносите нужные поправки. Топовые модели могут быть довольно близки к профессиональным стандартам, в то время как цветопередача монитора для массового сегмента может быть весьма далека от идеала. Итоговый профиль исправляет отклонения по цвету, добиваясь корректной цветопередачи.

Разные модели камер видят цвет по-разному, поэтому, чтобы передать картинку так, как запомнил ее ваш глаз и мозг, при постобработке необходимо совершить набор определенных действий. Предварительная калибровка же дает вам весомое преимущество – вам нужно будет совершить эти телодвижения всего один раз для всех снимков. Таким образом, время, затрачиваемое на обработку, значительно сокращается.

Калибровка камеры, в общем, работает так: вы измеряете любые отклонения во «взгляде» камеры на окружающий мир, после чего создаете профиль, который устраняет эти отклонения на этапе создания камерного JPEG из RAW-файла.

Несколько лет назад я понял на собственном опыте, что калибровка важна. Тогда я обрабатывал фото заката в Ирландии, снятого на Nikon D2x. Цвета в JPEG по умолчанию получились блеклыми и с явным наличием желтого оттенка, в то время как я отлично помнил яркие пурпурные краски этого заката. Вдруг, по какому-то наитию, я решил использовать калибровочное фото с эталонной цветопередачей, которое я по привычке делал перед каждой съемкой, но никогда до этого не использовал. Я создал с его помощью профиль, применил его ко всей съемке и с удивлением увидел, как каждое фото заиграло новыми, гораздо более реалистичными красками и оттенками.

Применение профиля не всегда заметно меняет цветопередачу, но, как мы уже упомянули выше, теория предельного дохода учит - незаметные улучшения имеют свойство накапливаться. Создание цветовых профилей под вашу камеру - довольно несложное дело. Я использую Xrite ColorChecker Passport и специальный плагин, который позволяет создавать профили прямо из файлов в Adobe Lightroom. Никто не запрещает использовать отдельное, обычно идущее в комплекте с камерой, ПО, чтобы создавать подогнанные под определённый экземпляр камеры профили для Adobe Camera Raw. Компания Adobe хранит эти профили в файлах с DNG расширением, но у вас нет нужды конвертировать гигабайты ваших RAW-архивов в DNG (аббревиатура для Adobe Digital Negative) для применения этих профилей.

Классический вариант эталонной мишени для калибровки состоит из 24 цветов .

Создание профиля камеры

Для начала просто сфотографируйте эталонную мишень в том освещении, при котором будет вестись съемка. Если у вас несколько камер – сделайте снимок каждой, желательно одним и тем же объективом. Я, как правило, использую для этого зум со средним диапазоном фокусных расстояний (вроде 24-70) - чаще всего я снимаю именно им. С учетом того, что я снимаю не в JPEG, а строго в RAW, нет разницы в том, какое выставлять цветовое пространство – AdobeRGB или sRGB. Лично я всегда использую AdobeRGB при обработке – таким образом обеспечивается более широкий цветовой охват. Запомните – для калибровочного фото и для всей последующей съемки важно использовать одно и то же цветовое пространство.

В Lightroom выберите предварительно импортированный калибровочный снимок. В меню File выберите команду Export и далее загрузите пресет ColorChecker Passport, который был установлен автоматически вместе с ПО для корректной работы калибратора. Вам нужно только решить, как назвать новый профиль - автоматика сделает остальное.

После перезапуска Lightroom, получившийся профиль может быть применен к снимку в выпадающем списке Profile панели Camera Calibration. Однако стоит помнить, что вам будут доступны только профили той камеры, которой вы сделали обрабатываемый RAW-файл. Продвинутые пользователи могут сохранить данный профиль как часть профиля Developer Preset и применить его сразу к нескольким фото при импорте.

Есть один нюанс. Теоретически, калибровать камеру, то бишь делать калибровочный снимок, нужно при каждой смене объектива, изменении источника освещения или даже смене значения ISO.

На практике же, за исключением очень специфичных условий работы с дотошно выставленным освещением и т.п., эти постоянные калибровки не нужны и сильно замедляют ваш рабочий процесс. «Фишка» здесь в том, чтобы найти нужный баланс между необходимостью подготовки и применения огромного количества разнообразных профилей и тем фактом, что ваш единственный профиль может не «лечь» корректно на все ваши кадры. Но, как и в большинстве других случаев, когда сравниваются калиброванный и некалиброванный прибор, даже одна единственная калибровка камеры очень сильно помогает в процессе работы фотографа.

Использование индивидуальных профилей

Мне, как travel-фотографу, удобно под каждое место съемки иметь специально заточенный профиль. Если я снимаю в индийском Ладакхе, что близ Гималай, я использую калибровочные снимки оттуда. Если в этой же поездке я отправляюсь в совершенно другой район, например, пышно цветущий Керал в Южной Индии, я повторяю всё заново.

Программа из комплекта ColorChecker Passport позволяет объединить два калибровочных изображения в одно, создавая при этом так называемый двойной профиль Dual-Illuminant DNG Profile. Таким образом можно обеспечить более точную цветопередачу в случае, если вы снимаете при постоянно меняющемся освещении, отличающемся от того, при котором сделан первый калибровочный кадр. Для создания такого двойного профиля необходимо сделать два калибровочных фото в кардинально разных условиях освещения. Затем из этих двух снимков создается двойной профиль, который обладает более точной цветопередачей, чем первоначальный вариант с одиночным снимком.

Когда вы откалибруете камеру, вы сможете применять свои профили автоматически при импорте с помощью настройки Develop Preset.

Если вы не пользуетесь Lightroom, можно использовать отдельное ПО для калибратора ColorChecker Passport, чтобы с его помощью создавать DNG профили. Эти DNG профили читаются множеством программ для RAW-процессинга, в том числе Adobe Camera Raw и Capture One. К сожалению, на данный момент Apple Aperture не поддерживает такие профили.

Об авторе. Стив Дэйви – фотограф и писатель из Лондона. Большую часть времени путешествует по самым экзотическим и живописным уголкам этой планеты. Недавно выпустил второе издание книги Footprint Travel Photography, которая стала настольной книгой любого путешественника с камерой в руках.

Если Вам понравился этот материал, то мы будем рады, если Вы поделитесь им со своими друзьями в социальной сети: