Жозеф Бертран, французский математик и экономист конца XIX в., подверг критике модель Курно и предложил свой вариант, в котором в качестве стратегических переменных рассматривал цены . Он считал, что изменение стратегических переменных в модели Курно (от объема производства к ценам) ведет к совершенно другим результатам. В модели Бертрана фирмы конкурируют путем установления цен и их поведение на рынке носит симметричный характер .

Представим анализ дуополии, предложенный Бертраном. Когда фирма выбирает свою цену, она должна предвидеть (предопределить) цену, которую зафиксирует вторая фирма на рынке. Пусть две фирмы предлагают на рынке соответственно цены Р { и Р г

Ниже перечислены предпосылки модели.

1. Спрос зависит от уровня цены, которую решит установить вторая фирма. Если фирма определит свою цену выше цены конкурента, спрос на ее продукт будет нулевым; если она зафиксирует цену ниже цены конкурента, то весь рыночный спрос перейдет к ней. Если обе фирмы установят одинаковые цены на продукт, то они поделят рыночный спрос пополам.

Пусть /-я фирма устанавливает свою цену продажи на уровне Р г Функция общего спроса на рынке - D(P). Тогда спрос у фирмы j будет таким:

Dj(P,) = D(P), если Р. я фирма захватывает весь рынок);

Dj(Pj) = Z)(r.) = 1/2 D(P), если Р. = Р = Р (/"-я и j- я фирмы делят спрос поровну);

Dj{Pj) = 0, если Pj > Р. (спрос j- й фирмы равен нулю).

В итоге функция спроса является прерывистой (как и функция прибыли).

• 2. Предполагается, что все фирмы обладают достаточным объемом мощностей для удовлетворения всего рыночного спроса.
• 3. Стратегическими переменными каждой фирмы на рынке являются цены.
• 4. Фирмы выпускают однородный товар (имеющий близкие субституты).
• 5. Каждая фирма стремится максимизировать прибыль, которую она может реализовать в условиях, создаваемых дуополис- том.

Важной предпосылкой модели Бертрана является то, что если две фирмы продают однородный продукт, то потребители будут покупать у той фирмы, которая устанавливает более низкую цену. Как следствие, фирмы устанавливают цены и позволяют рынку определить объемы продукции.

Допустим, что фирмы имеют одинаковую структуру издержек и обе продают товар по цене выше предельных издержек. В таком случае они имеют положительные прибыли. Если фирма 1 немного уменьшит свою цену, а фирма 2 оставит свою цену неизменной, все покупатели будут предпочитать покупать товар по цене фирмы 1: она может так переманить к себе всех клиентов фирмы 2. Таким образом, фирма 1 всегда имеет склонность к практике небольшого понижения цены по сравнению с ценой конкурента. Но такое поведение может иметь аналогичные последствия в смысле небольшого снижения цены фирмой 2 относительно цены фирмы 1. Отсюда следует, что установление цены выше предельных издержек не является стабильным и равновесным значением для данного рынка, а единственно возможное равновесие - это конкурентное равновесие, когда цена равна предельным издержкам при нулевом значении прибылей.

Сформулируем теорему Бертрана (1883), которая заключается в следующем: при предпосылках, обозначенных выше, существует только единственное равновесие на таком рынке: Р’ = Р 2 = МС, т.е. результатом является достижение конкурентного равновесия. Прибыль каждой фирмы можно в данном случае представить следующим образом:

Если Р> Р 2 > МС , фирма 1 не будет продавать товар и, соответственно, ее прибыль будет нулевой. Устанавливая Р^ - Р 2 - е, фирма 1 может захватить весь рынок и получить положительную прибыль. То же самое относится и к фирме 2, если она ответит на это снижением своей цены еще немного. Как следствие, подобная ситуация нс может быть равновесием, так как обе фирмы будут продолжать практиковать снижение цены до тех пор, пока цена не станет равной МС.

Если Z 5 , = Р 2 > МС , то две фирмы поделят рынок, однако такая рыночная ситуация нестабильна, поскольку, если одна фирма снизит цену, весь рыночный спрос перейдет к ней и се прибыли еще больше увеличатся. Это, следовательно, также нс является равновесной ситуацией.

При условии Р ] > Р 2 = МС фирма 2 не будет извлекать прибыль (так как цена равна предельным издержкам), а фирма 1 не получит никакой прибыли (так как ее цена слишком высока и покупатели уйдут от нее). Однако фирма 2 заинтересована в получении прибыли и, соответственно, в увеличении своей цены и удержании се на уровне чуть ниже P t с целью захвата всего рынка. Такая ситуация тоже не является равновесной.

Условие /’, = Р 2 = МС - это единственно возможный путь достижения равновесия на рынке (равновесие по Бертрану). В такой ситуации фирмы не извлекают прибыль, но будут занимать безразличную позицию по отношению к решению остаться на рынке или уйти с него.

Парадокс Бертрана сформулирован следующим образом: две фирмы действуют на рынке аналогично поведению большого

(неограниченного) числа предприятий, т.е. в соответствии с поведением фирм на рынке совершенной конкуренции.

Модель Бертрана, изменяя стратегическую переменную, приводит к фундаментально другому результату на рынке дуополии в сравнении с моделью Курно. Следует отметить необычность ситуации, когда на рынке действуют только две фирмы и итогом их поведения является установление конкурентного равновесия.

Представим парадокс Бертрана в виде теории игр (табл. 8.2).

Таблица 8.2

Матрица ценовой игры в модели Бертрана

	Взаимодействие (высокие цены)	Измена” (разброс цен)
Взаимодействие (высокие цены)
Измена"’ (разброс цен)

Стратегия «измена» является доминирующей стратегией для двух фирм: равновесие наступает при совпадении (И, И), когда прибыль равна нулю (*0, О*). В условиях равновесия по Бертрану цены на рынке снижаются до предельных издержек, т.е. до уровня значительно ниже ценовых значений в модели Курно или модели Штакельбсрга. Равновесие по Бертрану, так же как и равновесие по Курно, является равновесием по Нэшу. Этот результат образуется при угрозе со стороны потенциальных конкурентов. Однако трудно представить, что фирмы не будут пытаться влиять на цену, договариваясь об этом. Другой парадокс модели касается входа на рынок: возникает вопрос, почему фирмы берут на себя труд прийти на рынок, на котором не получают никакой прибыли. При таком равновесии благосостояние общества является максимальным: два производителя получают наибольший остаток (TR - КС), так же как и потребители, поскольку цены находятся на минимальном уровне. Одним из пугей определения равновесного состояния рынка дуополии, на котором возможно получение прибыли, и соответствующих оптимальных объемов выпуска и цен является предположение об ограниченности мощности.

• Bertrand J. Theoric mathematique de la richesse sociale // Journal des Savants,September 1883. P. 499-508.
• Если последняя предпосылка нс выполняется на определенных рынках,тогда действует модель Эджворта с ограниченными производственнымимощностями (Edgeworth F. The Pure Theory of Monopoly. Papers Relating toPolitical Economy, London, MacMillan, 1925).

Одна из основных предпосылок модели Курно состоит в том, что предприятия конкурируют на рынке по количественным параметрам (объему выпуска). Однако, в реальности предприятия стараются конкурировать на рынке по ценам. Именно эти соображения вызывают сомнения в результатах модели определения равновесного объема выпуска.

С такой критикой модели дуополии Курно выступил французский математик и экономист Жозеф Бертран. Он предложил альтернативную модель дуополии, основывающуюся на следующих предположениях :

во-первых , если две фирмы продают однородный продукт, то потребители будут покупать его у той фирмы, которая запросит более низкую цену;

во-вторых , фирмы в модели Бертрана, наоборот, определяют цены , а объем выпуска определяется рынком.

Дуополия Бертрана – способ взаимодействия, при котором фирма принимает решение об объеме выпуска, исходя из предположения, что фирма-конкурент не изменит цену. Именно это предположение движет рынок к состоянию равновесия, в котором ни одна из фирм не желает менять свою цену. Такое равновесие наступает, когда цена продукта снижается до предельных издержек фирмы (а у Курно – предельная выручка снижается до предельных издержек).

Т.е. для дуополии Бертрана характерно принципиальное отличие: стратегической переменной, учитываемой фирмами при принятии решения, является не объем выпуска, а цена.

Предпосылки модели следующие:

1. Спрос зависит от уровня цены, которую решит установить вторая фирма.

Если она увеличит цену по сравнению с ценой конкурента, то спрос на ее продукцию будет равен нулю. Если вторая фирма установит цену, которая будет ниже цены конкурента, то она сможет переключить на себя весь спрос рынка. Если обе фирмы устанавливают одинаковую цену на товар, то они поделят поровну спрос на рынке.

2. Предполагается, что фирмы обладают достаточной мощностью для покрытия спроса всего рынка.

3. Стратегическими переменными каждой фирмы на рынке являются цены.

4. Фирмы выпускают однородный товар (имеющий близкие субституты).

5. Каждая фирма стремиться максимизировать прибыль, которую она может реализовать в условиях, создаваемых дуополией.

В модели Бертрана равновесие дуополистического рынка по ценам, объему производства и прибылям соответствует равновесию рынка совершенной конкуренции, т.е. две фирмы делят рынок на равные части и получают нулевые экономические прибыли.

Рассмотрим механизм действия фирм по модели Бертрана подробнее.

Фирмы назначают цены одновременно, так что каждая не может прогнозировать реакцию конкурента на сделанный ею самой выбор. Средние издержки фирм постоянны в долгосрочном периоде и равны между собой.

Цена фирмы 1может быть любой. Но как только это произошло, ее цена оказывается фиксированной при принятии решения фирмой 2. Если фирма 2 назначит цену выше цены фирмы 1, она не продаст ничего (спрос переключится на товар той фирмы, которая назначает более низкую цену). Фирма 2 может назначить цену на уровне цены фирмы 1 (рынок пополам) или ниже. Во втором случае фирма 2 захватывает весь рынок.

Подобную стратегию может проводить фирма 1 по отношению к фирме 2. В результате на рынке возникает ценовая конкуренция, и, как следствие, цена падает до минимально возможного уровня. Если фирмы идентичны, и их предельные издержки равны, равновесная цена установится на уровне предельных издержек. Любая цена выше предельных издержек не сможет стабилизировать рынок.

Сформулируем теорему Бертрана: при предпосылках, указанных выше, существует только единственное равновесие на таком рынке: Р 1 = Р 2 = МС, т.е. результатом является достижение конкурентного равновесия .

Если Р 1 >Р 2 >МС, фирма 1 не будет продавать товар и ее прибыль будет нулевой. Устанавливая цену Р 1 = Р 2 - ε (чуть ниже конкурента), фирма 1 может захватить весь рынок и получить положительную прибыль. То же самое относится и к фирме 2, если она ответит снижением своей цены. Поэтому, такая ситуация (Р 1 >Р 2 >МС) не может быть равновесием, т.к. обе фирмы будут снижать цены, до тех пор пока они не сравняются с предельными издержками .

Если Р 1 =Р 2 >МС, то две фирмы поделят рынок . Однако, такая ситуация также нестабильна, т.к. если одна фирма снизит цену, весь рыночный спрос перейдет к ней и ее прибыли еще больше увеличатся. Т.е. данная ситуация также не является равновесной.

При условии Р 1 >Р 2 =МС фирма 2 не будет извлекать экономическую прибыл ь (т.к. цена равна предельным издержкам), а фирма 1 не получит прибыль , т.к. ее цена слишком велика и покупатели уйдут от нее. Однако, фирма 2 заинтересована в получении прибыли и, соответственно, в увеличении своей цены и удержании ее на уровне чуть ниже Р 1 с целью захвата всего рынка. Такая ситуация тоже не является равновесной.

Т.о., условие Р 1 =Р 2 =МС – это единственно возможный путь достижения равновесия на рынке (равновесие по Бертрану). В такой ситуации фирмы не будут извлекать экономическую прибыль, но будут занимать безразличную позицию по отношению к решению остаться на рынке или уйти с него.

Если же предельные издержки фирм не равны, фирма с более низкими предельными издержками получит конкурентное преимущество путем назначения цены ниже того уровня, при котором другая фирма еще сможет осуществлять свою деятельность на рынке. В результате фирма с более высокими издержками вынуждена будет уйти из отрасли.

Таким образом, олигополистическое взаимодействие в его простейшей форме (при равенстве предельных издержек конкурирующих фирм) оказывается нестабильным и приводит к истощающей силы обеих сторон ценовой войне (пока цена не упадет до предельных издержек). А, следовательно, и к конкурентному результату - нулевой прибыли в долгосрочном периоде, что ликвидирует стимулы крупных фирм к производству и сбыту данного вида товара. Этот результат взаимодействия олигополистов известен как парадокс Бертрана.

Парадокс Бертрана сформулирован следующим образом: две фирмы действуют на рынке аналогично поведению большого (неограниченного) числа предприятий, т.е. в соответствии с поведением фирм на рынке совершенной конкуренции.

Следует отметить необычность ситуации, когда на рынке действуют только две фирмы и итогом их поведения является установление конкурентного равновесия. Если бы парадокс Бертрана имел место в действительности, крупные фирмы перестали бы заниматься производством, и рынок олигополии прекратил бы свое существование. Однако в реальности это не так. Крупные фирмы не только не прекращают производство, но и представляют собой господствующую структуру современной рыночной экономики, получая прибыли в долгосрочном периоде. Более реальными являются его модификации.

С точки зрения участников, олигополистическое ценообразование обладает всеми чертами состязания или игры. Задача каждого игрока состоит в том, чтобы выбрать стратегию, максимизирующую его результат, принимая в расчет стратегии других игроков. Например, в рамках теории игр парадокс Бертрана известен как «дилемма заключенного»: если виновные в совершении преступления стоят перед выбором стратегии «сознаваться» или «не сознаваться», причем делают выбор одновременно и независимо друг от друга, для каждого из них доминирующей стратегией служит стратегия «сознаваться». Рациональный выбор заключенных в длительном периоде будет состоять в том, чтобы сознаться, несмотря на возможность улучшения положения обоих в случае выбора ими стратегии «не сознаваться».

Для аспирантов

Представим парадокс Бертрана в виде теории игр. Если взаимодействие двух фирм продолжается один период времени, то игра приобретает характер «дилеммы заключенного». Возможные комбинации стратегий фирм и получаемых ими выигрышей представлены в таблице 5.2.

Таблица 6.2. Матрица ценовой игры в модели Бертрана

Стратегии	Стратегическая переменная
Высокая цена	Низкая цена
Стратегия фирмы 1	Низкая цена	(π4; π3)	(π2; π3)
Высокая цена	(π3; π2)	(π1; π1)

Фирмы могут выбирать стратегии низкой или высокой цены и получать соответственно результаты (прибыли) такие, что π2<π1>π4>π3. Отсюда доминирующей стратегией для каждой фирмы будет стратегия «назначать низкую цену».

Если их взаимодействие продолжится бесконечно долго, доминирующими могут быть только две стратегии:

1. Стратегия «руки, дрожащей на курке» - назначать высокую цену в момент (t), если другая фирма назначила высокую цену в момент (t 1) или назначить низкую цену в противном случае.

2. Стратегия «хищничества» - назначать низкую цену в любой момент времени.

Максимальный выигрыш каждой фирмы от применения первой стратегии с учетом дисконтирования равен:

PV(п) 1 = п 1 + п 1 ρδ + п 1 ρ 2 δ 2 +… = п 1 /(1- ρδ),

где п 1 - прибыль, полученная фирмой, назначающей высокую цену, при условии, что другая фирма также назначает высокую цену; δ - дисконтирующий множитель, связанный со ставкой дисконтирования δ = 1/(1+i), i - ставка дисконтирования; ρ - вероятность в момент времени t того, что фирмы будут взаимодействовать в момент (t+1) - вероятность продолжения игры в будущем.

Максимальный выигрыш фирмы от применения второй стратегии равен:

PV(п) 2 = п 2 + п 4 ρδ + п 4 ρ 2 δ 2 +… = п 2 – п 4 + п 4 /(1- ρδ),

где п 2 - прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену, при условии, что другая фирма назначает высокую цену; п 4 - прибыль, полученная фирмой, назначающей низкую цену, при условии, что другая фирма назначает низкую цену.

Выбор оптимальной стратегии фирмы, таким образом, зависит от соотношения значений выигрышей по каждому из возможных вариантов.

Если РV(р) 1 > РV(р) 2 ,

Т. е. если п 1 /(1- ρδ) > п 2 – п 4 + п 4 /(1- ρδ) и ρδ > (п 2 – п 1)/(п 2 – п 4),

то стимулов вести ценовую войну у фирм не будет.

Выбор стратегии «ценовой войны» (период падения цен) или «ценового мира» зависит как от объективных факторов (вероятности продолжения взаимодействия фирм в будущем), так и от субъективных факторов (межвременных предпочтений фирм).

Модель Бертрана, изменяя стратегическую переменную (цена вместо количества), приводит к фундаментально другому результату на рынке дуополии в сравнении с моделью Курно: в условиях равновесия по Бертрану цены на рынке снижаются до предельных издержек, т.е. до уровня значительно ниже ценовых значений в модели Курно (или модели Штакельберга).

Вывод: несмотря на то, что теории равновесия Курно и Бертрана являются объектами одной и той же концепции, они приводят к разным результатам. В точке равновесия Курно цена и объем выпуска устанавливаются между монопольным и общественно-оптимальным уровнем производства, тогда как равновесие Бертрана выражается в общественно-оптимальных цене и объема выпуска. Именно поэтому результат модели Бертрана не может удовлетворить фирму-производителя на дуополистическом рынке. Трудно представить, что две фирмы не будут пытаться влиять на цену, договариваясь об этом. Данную проблему призвана разрешить модель дуополии, предложенная английским экономистом Эджуортом.

Модель Эджворта

Эджворт (1925) предпринял попытку разрешить парадокс Бертрана. Созданная им модель позволяет решить проблему ценовой конкуренции, при которой цена продукта не опускается до уровня предельных издержек.

С другой стороны, данная модель не обладает ожидаемым состоянием равновесия , т.е. здесь не существует пары равновесных объемов выпуска и равновесной цены. Модель описывает рынок, на котором цены движутся циклически . Как только какая-либо из фирм пытается максимизировать собственную прибыль, цена вырастает и затем падает, но никогда не остается постоянной на одном и том же уровне. Если цена достигает размера предельных издержек, то она всегда возвращается на более высокий уровень. Таким образом, отрасль будет последовательно проходить через периоды падения цен («ценовые войны») и периоды роста цен.

Все это происходит из-за предположения о том, что фирмы дуополистического рынка ограничены по мощности, т.е. ни одна их фирм не обладает достаточной мощностью для производства такого количества продукции, которое соответствует объему спроса на рынке при уровне цены, равной предельным издержкам производства. Именно это предположение обеспечивает ситуацию, при которой устанавливаемые фирмами цены не падают неизбежно до уровня предельных издержек.

С точки зрения участников рынка, задача состоит в том, чтобы найти такую пару стратегий, которая решает проблему каждого.

Такая пара образует стабильное решение в том смысле, что ни один из игроков не будет изменять своей стратегии при заданной стратегии оппонента . Такое стабильное решение называется равновесием Нэша, который нашел математическое выражение этой идеи.

Рассмотрим, установление равновесия на рынке при ценовом взаимодействии двух фирм и ограниченности их совокупных мощностей (по Эджворту).

Предположим, что выпуск каждой фирмы, действующей в отрасли, ограничен величиной К, составляющей половину того объема выпуска отрасли, на который предъявляется спрос при цене, равной предельным издержкам. Это означает, что кривые средних и предельных издержек каждой фирмы имеют вертикальный вид при q = К: предельные издержки производства следующей единицы можно считать стремящимися к бесконечности (рисунок 6.2).

Рисунок 6.2. Остаточный спрос в модели Эджворта (Qmax – ограниченный объем производства каждой из двух фирм)

Если обе фирмы назначают цену Р=МС, их совокупный выпуск (Q мах = К 1 +К 2) достаточен, чтобы удовлетворить отраслевой спрос (мой рис 1).

Если фирма 1 увеличит свою цену, потребители захотят покупать товар фирмы 2, предлагающей более низкую цену. Однако половина потребителей не сможет купить продукт из-за ограниченности производственных возможностей фирмы 2. Они будут вынуждены покупать продукт у фирмы 1 по высокой цене. (мой рис 2).

Фирма 1 столкнется с остаточным спросом RD I , причем Qrd I (Р) = Qd(Р) – К 2 . (мой рис 3).

По отношению к этому остаточному спросу фирма 1 будет действовать как монополист, максимизируя прибыль там, где МRrd 1 –МС 1 . Цена фирмы 1 будет установлена на уровне Р 1 >Р 2 =МС, так что фирма 1 будет получать положительную экономическую прибыль, в то время как прибыль фирмы 2 останется равной нулю, несмотря на ее большую долю рынка.

В следующий период фирма 2 поднимет свою цену, но установит ее на уровне ниже P 1 так, чтобы переманить покупателей фирмы 1. Однако, поскольку производственные мощности фирмы 2 ограничены, она сможет удовлетворить только две трети рыночного спроса при установившейся цене. В этот период фирма 2 продаст в два раза больше, чем фирма 1, почти по той же цене, в результате чего прибыли фирмы 2 удвоятся по сравнению с 1.

Еще через период фирмы будут постепенно по очереди снижать цены до тех пор, пока одна из фирм не установит конечную цену Рк на уровне, при котором за счет роста объема продаж (ограничений, налагаемых производственными мощностями) ее прибыль не окажется равной прибыли при наивысшей цене

Рk = Р 1: 0,5(P 1 - MC)K = (Pk - MC)K

С этой точки зрения другая фирма может попытаться поднять цену до уровня Р 1 . В результате начнется новый цикл последовательного снижения цен фирмами.

Таким образом, статическое равновесие с одной ценой никогда не будет достигнуто; уровень цен будет последовательно подниматься и опускаться в интервале Рк < Р

Т.о., у каждой фирмы есть две возможные стратегии:

1. Максимизировать прибыль по остаточному спросу Qrd 1 = Qd – K 2 .

2. Установить цену на уровне, ниже цены конкурента P 1 = P 2 – ε.

Как следствие, решение парадокса Бертрана представляется нестабильным равновесием модели Эджворта в силу того, что цены будут меняться циклически.

Предпосылка ограничения мощности позволяет найти решение проблемы ценовой конкуренции, при котором цена не будет падать до уровня предельных издержек. Решение - в отсутствии стабильного равновесия, что объясняется тем, что ни одна из двух фирм не имеет достаточно мощности для производства количества продукции, на которое будет предъявлен спрос при цене, равной предельным издержкам.

Вывод: парадокс Бертрана разрешается благодаря:

Длительности взаимодействия фирм на рынке и их ориентации на долгосрочные цели;

Дифференциации продукта продавцов и приверженности марке;

Ограниченности мощности предприятий.

Три названных характеристики служат важнейшими условиями, ограничивающими ценовую конкуренцию. И служат объектом стратегического выбора на олигополистическом рынке.

Таким образом, доказана оправданность использования моделей, где стратегической переменной служит количество, в качестве инструмента анализа олигополии. Фирмы, желающие исключить ценовую войну между собой, выберут производственные мощности, равные равновесному объему выпуска в другой модели поведения олигополии - модели Курно.

В некоторых задачах по теории вероятности требуется геометрический подход (например, попадание пуль в мишень). В задачах такого типа предполагается, что случайные точки равномерно распределены в некоторой области. Вероятность попадания в произвольную часть этой области пропорциональна ее площади (длине или объему). Такие вероятности приводят к возникновению ряда парадоксов. Например, шанс попасть в центр мишени (или в любую другую заданную точку) равен нулю. С другой стороны, попасть в эту точку можно. Таким образом, необходимо различать невозможные события и события, происходящие с вероятностью 0 (вероятность невозможного события равна 0, но обратное неверно). Может показаться странным следующий факт: вероятность попадания по крайней мере в одну точку из конечного множества точек и вероятность попадания лишь в одну точку совпадают (обе вероятности равны 0. см. парадокс о нулевой вероятности). Другая странность: взаимно однозначное преобразование может совершенно изменить шансы. Например, если мы случайно выбираем точку из интервала (0, 1), то шансы выбрать число меньшее 1/2, равны 50%. Но если все числа из (0,1) возвести в квадрат и равномерно выбирать из квадратов, то шансы увеличатся до 65,6%. Конечно, ответ 50% более естественен, но в других задачах выбор между естественностью и неестественностью может оказаться невозможным только на основе логических рассуждений.

Суть парадокса

Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окружность. Парадокс утверждает, что такая вероятность определяется неоднозначно, т.е. различные методы приводят к разным результатам.

1-ый метод Случайным образом (равномерно) в круге выбирается точка. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4.

2-й метод Из соображений симметрии можно считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного треугольника. Выберем другой конец случайно с равномерным распределением. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пресекает этот треугольник. Так что искомая вероятность теперь равна 1/3.

3-й метод Выберем случайным образом и равномерно точку на радиусе окружности и возьмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и проходит через выбранную точку. Тогда случайная хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если случайная точка лежит на той половине радиуса, которая ближе к центру. Из соображений симметрии не важно, какой радиус был выбран для построения, поэтому искомая вероятность равна 1/2.

Объяснение парадокса

Казалось бы, во всех трех случаях рассуждения верны, но все-таки вероятность одного и того же события оказалась разной. Однако на самом деле мы решали три различные задачи (т.е. за меру выбирались различные множества).

В первом случае за меру множества точек избрали площадь, в которой эти точки расположены, и вычисляли отношение двух площадей.

Во втором случае за меру множества точек, попадающих в определенный угол, приняли величину соответствующего угла и вычисляли отношение двух углов(т. е. угла π/3 и развернутого угла π).

Ну а в третьем случае мы "катили" хорду по диаметру и, принимая длину отрезка за меру множества точек на нем, вычисляли отношение длины отрезков.

8 ученик Парадокс 4