Оценка качества эксперта - априорная, апостериорная, тестирование

Априорная оценка точности измеряемых навигационных параметров основывается на многочисленных статистических исследованиях, которые происходили до конкретной обсервации. В качестве основного параметра для априорной оценки точности измеряемых величин применяется средняя квадратическая погрешность измеряемого навигационного параметра m .

Особенностью определения координат является тот факт, что измерения косвенные, то есть измеряются навигационные параметры, и их погрешности затем переносятся в погрешности координат. Рассмотрим процедуру переноса погрешностей измерений в погрешности координат на примере ОМС по двум измерениям.

В этом случае линеаризованная система принимает вид:

Так как в измерениях присутствуют погрешности , то это приведет к погрешности вектора оценок и система перепишется в виде:

Формирование ковариационной матрицы погрешности измерений выполняется по формуле

здесь D – обозначение ковариационной матрицы или, что тоже самое,символ дисперсии вектора вектора .

Для двумерного случая умножение выглядит так:

а операция математического ожидания, выполненная над матрицей превращает ее в ковариационную матрицу D :

На главной диагонали D находятся дисперсии измеряемых навигационных параметров, а вне диагонали - ковариационные моменты, которые характеризуют статистическую связь между измерениями.

Аналогично определим ковариационную матрицу погрешностей определяемых параметров, используя правила матричного исчисления и ,

В дальнейшем при написании ковариационных матриц, где это не вносит двузначности, будем опускать аргумент при D .

И так, ковариационная матрица погрешностей координат N рассчитывается так:

Для двумерного случая матрица N имеет вид:

где n 11 - дисперсия погрешностей широты, n 22 - дисперсия погрешностей отшествия, n 12 = n 21 - ковариационные моменты.

Вся информация о погрешностях содержится в матрице N . В судовождении часто используется ее геометрическая интерпретация в виде эллипса погрешностей. Установим связь между элементами матрицы N и параметрами эллипса: полуосями и углом ориентации.

В общем случае такая задача рассматривалась Хоттелингом Г. в 1933 г. и им было показано, что для ковариационной матрицы существуют векторы, направлениям которых соответствуют максимальные и минимальные значения рассеивания (погрешностей). Численно эти значения соответствуют собственным числам матрицы. Направления собственных векторов, указывающие на направление максимального и минимального рассеивания (дисперсии), соответствуют направлениям полуосей эллипса. Собственные числа - это экстремальные значения дисперсий. Для перехода к линейным величинам - полуосям эллипса (гипер - эллипса для n-мерного пространства), необходимо извлечь квадратный корень.

Рассмотрим эту задачу для двумерного случая, то есть для плоскости. Физика и геометрия собственных чисел и векторов заключается в том, что результатом умножения исходной матрицы на собственный вектор будет вектор, коллинеарный собственному, по длине отличаясь в число раз, пропорциональное собственному значению. Математически это запишется так:

Поставим численный эксперимент, который прояснит этот факт.

Выполним умножение Nz , где в качестве z будем выбирать единичный вектор с направлением Y от 0 0 до 360 0 . Формирование компонент единичного вектора выполним по формулам:

В качестве примера возьмем матрицу

В результате перемножения конец вектора p опишет эллипс. (Рис.2.4)

Процедуру умножения матрицы N на z можно рассматривать как оператор, преобразующий единичный вектор z . После перемножения вектор изменит направление и длину. Ниже приведены результаты такого перемножения с дискретностью в один градус, а компоненты вектора p (значения x и y ), приведены в таблице 2.1

Y	Y 1	x	y	R
	8.13	21.000	3.000	21.213
	8.48	21.049	3.139	21.282
	8.83	21.092	3.277	21.345
	9.18	21.128	3.415	21.402
	9.53	21.158	3.551	21.454
	9.87	21.182	3.686	21.500
	10.22	21.199	3.820	21.540
	10.55	21.209	3.953	21.574
	10.90	21.213	4.084	21.603
	11.24	21.211	4.215	21.625
	11.58	21.202	4.344	21.642
	11.92	21.187	4.471	21.653
	12.26	21.165	4.598	21.658
	12.60	21.137	4.723	21.658
	12.93	21.102	4.846	21.651
	13.27	21.061	4.968	21.639
…	…	…	…	…
	92,48	-0,322	7,432	7,439
	95,38	-0,692	7,358	7,390
	98,30	-1,062	7,281	7,358
	101,24	-1,432	7,201	7,342
	104,19	-1,801	7,120	7,344
	107,13	-2,169	7,037	7,363
	110,05	-2,537	6,951	7,400
	112,94	-2,905	6,863	7,453
	115,78	-3,271	6,773	7,522
	…	…	…	…

В первом столбце таблицы находится направление единичного вектора z , а во втором, направление уже преобразованного вектора - вектора p . В последнем столбце содержится длина R вектора p . Из расчетов, приведенных в таблице видно, что расхождение в направлении вектора z и вектора p величина переменная, но в районе 12 0 и 102 0 эти направления совпадают. Кроме того, этим направлениям соответствуют максимальное и минимальное значение длины R . Таким образом, направления собственных векторов 12 0 и 102 0 соответственно, они ортогональны. Собственные значения равны приблизительно 21.658 и 7.342 соответственно.

Для двумерного случая можно получить простые формулы для расчета параметров эллипса погрешностей из матрицы N . Опираясь на выражение (2.26), запишем.

n 11 z 1 + n 12 z 2 = lz 1

n 21 z 1 + n 22 z 2 = lz 2 (2.28).

(n 11 -l)z 1 + n 12 z 2 =0

n 21 z 1 + (n 22 -l)z 2 =0

или в матричном виде:

(N - lE) z = 0

где - нулевая матрица.

Формально получаем:

Det(N-lE)Z=adj(N-lE)*0

следовательно, Det(N-lE)Z= 0 .

Так как Z произвольный вектор и, в общем случае не нулевой, то

Det(N-lE)=0

Запишем для двумерного случая:

(n 11 - l) (n 22 - l) - n 21 n 12 = 0

Это квадратное уравнение. Решая его относительно l и, принимая во внимание, что n 21 = n 12 , так как матрица N симметрическая, получим:

(2.29)

Подставив значения из матрицы (2.27), получим l 1 = 21.659 l 2 = 7.341

Эти значения практически совпали с максимальным и минимальным значением из таблицы.

Определим ориентацию собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям. Считая l известным, подставим это значение в (2.28) и разрешим эту систему относительно z 1 и z 2 ,учитывая, что z 1 = cos(Y), z 2 = sin(Y) .

Первое уравнение системы 2.28 будет выглядеть так:

n 11 cos(Y) + n 12 sin(Y) = l cos(Y)

Разделим первое левую и правую часть на cos(Y).

n 11 + n 12 tg(Y) = l

. (2.30)

(2.31).

Подставив числовые значения, получим Y = 12.388 0

Таким образом, фактически получено направление большой полуоси эллипса Y относительно норда. Если в (2.31) подставить другое значение l то получим направление малой полуоси, но так как они ортогональны, то практически это не требуется.

Для отыскания полуосей необходимо извлечь квадратные корни из собственных чисел.

Когда говорят об оценке точности, то обычно добавляют слова априорная или апостериорная. Априорная - это оценка точности, выполненная по информации о погрешностях измерений полученной ранее. Как правило, такая информация о точности измеряемых навигационных параметров основывается на многочисленных статистических исследованиях, которые происходили до конкретной обсервации в каких-то осредненных условиях. Именно такая информация, как правило, содержится в ковариационной матрице погрешностей измерений используемой при расчете координат. В формуле (2.18) она обозначена как D . Если погрешности измерений статистически независимы, то внедиагональные элементы равны нулю и матрица имеет вид:

Именно эти погрешности в соответствии с правилом переноса погрешностей и формируют априорную ковариационную матрицу определяемых параметров.

Процедура построения эллипса погрешностей по ковариационной матрице сводится к следующему:

· Рассчитываем собственные значения l по формуле (2.29)

· Определяем угол ориентации Y по формуле (2.31)

· Рассчитываем полуоси по (2.32)

На рис. 2.5 показана связь между элементами ковариационной матрицы и эллипсом. Отрезок, заключенный между касательной к эллипсу параллельной оси Y и самой осью соответствует СКП по широте, или Отрезок на оси Y , отсекаемый вертикальной касательной соответствует СКП по отшествию

На рисунке также показана средняя квадратическая погрешность (СКП) обсервации М, которая рассчитывается, как корень квадратный из следа ковариационной матрицы либо с помощью полуосей эллипса:

2.5 Апостериорная оценка точности рассчитанных координат

В априорной оценке использовалась информация о точности, полученная по результатам предыдущих измерений, а в апостериорной оценке участвуют текущие измерения, т.е. по которым была вычислена вероятнейшая точка.

Допустим, что ковариационная матрица погрешностей измерений D известна с точностью до постоянного множителя m 2:

где матрица K известна, а величина m 2 неизвестна.

Иными словами известны относительные, а не абсолютные значения матрицы D . С учетом этого рассмотрим систему нормальных уравнений:

Подставив вместо D -1 выражение получим:

Величина m 2 (дисперсия наблюдения с единичным весом) сокращается и решение, в итоге, не зависит от абсолютной величины элементов ковариационной матрицы измерений D . Матрицу K -1 также называют "весовой" и обозначают через P ,а m 2 - дисперсией наблюдения с единичным весом. Если m 2 не выносилась из D , то весовой будет просто D -1 .

Рассмотрим величину

Она представляет собой обобщенную (взвешенную) остаточную сумму квадратов уклонений. Здесь M - операция взятия математического ожидания. Упрощенно ее можно рассматривать как отыскание среднего значения.

Рассмотрим выражение в последней скобке, то есть пока без операции взятия математического ожидания:

Последнее слагаемое равно 0. Это вытекает из условия (2.17) и видно из рисунка 2.6: векторы и ортогональны, а скалярное произведение таких векторов равно 0. Тогда .

Кроме этого:

Во втором слагаемом произведение представляет собой правую часть системы нормальных уравнений (2.19), тогда вместо нее запишем левую , тогда окончательно получим:

По этой формуле можно посчитать значение квадратичного критерия (остаточную сумму квадратов невязок). Здесь DU - вектор, рассчитанный по исходным данным U o -U c и первое слагаемое в правой части дает значение остаточной суммы в начальной (счислимой) точке, а второе слагаемое уменьшает это значение за счет смещения к оптимальной точке на величину .

С учетом взятия операции математического ожидания (2.33) справедливо следующее:

Распишем первое слагаемое:

Правило легко проверяется простым перемножением матриц небольшой размерности.

Распишем второе слагаемое:

С учетом (2.35) получим:

Несмещенная оценка m 2 запишется выражением:

Тогда апостериорную оценку ковариационной матрицы погрешности результатов получим следующим

или апостериорная ковариационная матрица погрешностей координат рассчитывается через априорную матрицу так:

Пример . Определить координаты места судна и поправку компаса по измерениям 4-х пеленгов. Расчитать элементы априорного и апостериорного эллипсов погрешностей координат, и средние квадратические погрешности обсервации.

Задачу решить на плоскости в прямоугольных координатах по информации представленной ниже,используя два последовательных приближения.

Окончательный ответ дать в географической системе координат.

Счислимые координаты: x = 8,0 (миль) ; ,y = 4,4 (миль)

Решение:

Первая итерация:

1. Записываем навигационную функцию пеленга ()с учетом поправки Z:

Вычисления приведены ниже:

Затем из априорной ковариационной матрицы N выбираем верхний левый блок N 1 , который определяет точность координат x,y и по формулам (2.26)-(2.29), находим элементы априорного эллипса погрешностей обсервации и СКП М

Элементы априорного эллипса погрешностей обсервации из N’:

a =98,6 м; b =35,6 м; y=139,4 0 ; М=104,82 м

Элементы апостериорного эллипса погрешностей обсервации из вернего левого блока матрицы (2.36):

a =149,3 м; b =53,9 м; y=139,4 0 ; М=149.30 м

Вторая итерация:

1. Обсервованные коородинаты принимаем за счислимые, т.е. X c = , и повторяем вычисления по формулам (2.20) и (2.26)-(2.29) с расчетом оценки точности координат.

2. С учетом принятых обозначений, а именно , определяем географические координаты, при известных географических координатах счислимой точки С (j с, l с):

l о =l с + cos j m , где j m = (j с + j о)/2 – средняя широта.

2.6 Графоаналитический расчет

Где М ij – средняя квадратическая погрешность точки по двум линиям положения.

Находим средневзвешенное значения приращений координат относительно счислимой точки:

Находим обсервованные прямоугольные координаты, используя формулы (2.8), а так же географические координаты по формулам, приведенным во второй итерации.
Для сравнения ставим точку по первой итерации на диаграмму графоаналитического расчета.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12

Для выполнения данной лабораторно-практической работы проектирование плановой геодезической сети следует выполнять в следующей последовательности:

на теле оползня запроектировать 3 – 4 деформационных знака;

в непосредственной близости от оползневого массива запроектировать 3 – 4 опорных пункта, которые должны быть расположены на устойчивом геологическом основании;

исходные, деформационные и опорные пункты связать в единую геодезическую сеть произвольной конструкции.

Отметим, что при проектировании видимость между пунктами должна быть обеспечена с земли. Сеть может быть запроектирована в виде: триангуляции, трилатерации, линейно-угловой сети, полигонометрии или их комбинаций, при этом специальных допусков на минимальные углы в треугольниках и длины сторон нет. Следует, однако, отметить, что при неудачном проекте сети может оказаться очень высокая необходимая точность угловых или линейных измерений, что приведет к удорожанию работ.

Общее число определяемых пунктов в геодезической сети (в учебных целях ) должна находиться в диапазоне 6n’8. Число избыточных измеренийrв сети, вычисляемое по формуле (5), рекомендуется проектировать в диапазоне 5r10. Приr5 возможен неудовлетворительный результат предрасчета точности, а приr10 – необоснованное удорожание стоимости запроектированной геодезической сети.

где n– число всех измерений в сети;

t– число параметров (для плановой сети число параметров равно удвоенному числу определяемых пунктов ).

Проектирование высотной геодезической сети осуществляется по пунктам плановой сети в виде хода или системы нивелирных ходов с одной или несколькими узловыми реперами.

2 Априорная оценка точности геодезических сетей

2.1 Общие теоретические положения

Оценка точности геодезических сетей выполняется как на стадии проектирования, когда разрабатывается оптимальный вариант построения сети, так и после построения сети в процессе математической обработки (уравнивания ) результатов геодезических измерений.

Оценка точности, выполняемая по результатам уравнивания, дает наиболее достоверные данные о реальной точности элементов построенной на местности геодезической сети. Эта информация используется при решении различных научных и практических задач, требующих определения с заданной точностью длин и направлений сторон сети, координат и высот геодезических пунктов.

Особое значение оценка точности геодезических сетей имеет на стадии проектирования. Благодаря ей представляется возможность решать целый ряд задач, имеющих большое практическое и экономическое значение, и в частности:

выбор оптимального варианта построения сети, позволяющего при прочих равных условиях получить элементы сети с наивысшей точностью, достигаемой в массовых работах при наименьших затратах труда, денежных средств и времени на их производство;

определить требуемую точность измерения элементов в проектируемой сети и на их основе сделать правильный выбор приборов и методов измерений.

В настоящее время априорную оценку точности геодезических сетей выполняют на персональных компьютерах по методу наименьших квадратов с учетом всех геометрических и корреляционных связей между уравненными элементами сети. Для оценки точности необходимо получить матрицу весовых коэффициентов определяемых пунктов по следующей известной формуле

(6)

где А - матрица параметрических уравнений поправок;

Р - матрица весов результатов измерений.

Число строк в матрице А определяется числом всех измерений в сети (n), а число столбцов - удвоенным числом определяемых пунктов. Строка матрицы А представляет собой коэффициенты параметрического уравнения поправок для соответствующего измерения.

Для измеренных углов параметрическое уравнение поправок в индексном виде записывается следующим образом

где k" - порядковый номер измеренного угла в сети;

k, i, j - индексы, соответствующие номерам пунктов, образующих проектируемый измеренный угол;

- поправки к приближенным значениям координат определяемых пунктов (на стадии предвычисления точности они остаются неизвестными и обозначают соответствующие столбцы матрицы параметрических уравнений поправок А );

- коэффициенты параметрического уравнения поправок, вычисляемые по следующим формулам

где
- соответственно дирекционный угол и длина линии Skj.

Для запроектированных измеренных расстояний, параметрическое уравнение поправок в индексном виде записывается следующим образом

Диагональные элементы матрицы Р - веса соответствующих измерений. Для запроектированных измеренных углов они вычисляются по следующей формуле

(10)

где - средняя квадратическая ошибка (СКО) единицы веса; M- СКО измеренного угла.

На стадии предвычисления точности, как правило, принимают условие =m  , поэтому веса измеренных углов в формуле (10) равны 1.

Веса измеренных расстояний с учетом принятого условия (10) определяются по формуле

Отметим, что на диагонали матрицы Р для проектируемых измеренных длин линий находится неизвестное соотношение между точностями проектируемых угловых и линейных измерений, поскольку заранее класс геодезической сети не определен. Следовательно, для решения матричного уравнения (6) априорно установим вес линейного измерения в виде произвольного положительного числа К, которое, в частном случае, может быть равно 1. Правила составления матрицы коэффициентов параметрических уравнений поправок А и матрицы весов результатов измерений Р подробно изложены в работе /13 /.

Средняя квадратическая ошибка положения произвольного пункта в сети относительно ближайшего исходного пункта может быть вычислена по формуле

где Q Xi иQ Yi – соответствующие диагональные элементы матрицы весовых коэффициентов определяемых параметровQ,

 - средняя квадратическая ошибка единицы веса.

На стадии проектирования геодезической сети ошибку единицы веса считают известной из имеющегося опыта построения сетей. Она, как правило, приравнивается к СКО измеренных углов=m  и устанавливается в соответствующей нормативной литературе /8/ исходя из класса геодезической сети. Для геодезической сети, предназначенной для наблюдения за движением оползня, задана точность положения пункта в наиболее слабом месте, а класс геодезического построения не определен /4/. Следовательно, формулу (12) целесообразно преобразовать к следующему виду

(13)

Формула (8) позволяет, исходя из заданной точности положения пункта в наиболее слабом месте геодезической сети вычислить требуемую точность угловых измерений. В соответствии с условием (10) формула для вычисления необходимой точности запроектированных измеряемых длин линий вычисляется по следующей формуле

(14)

Таким образом, для выполнения априорной оценки точности запроектированных наблюдений в геодезической сети, предназначенной для наблюдения за движением оползня, сети необходимо выполнить следующие этапы математической обработки:

по формулам (7 и 9 ) составить параметрические уравнения поправок для всех проектируемых измерений;

вычислить коэффициенты уравнений поправок по формулам (8);

установить веса запроектированных измерений (матрица Р, формулы 10 и 11 );

по формуле (6) вычислить матрицу весовых коэффициентов Q;

вычислить требуемую точность угловых и линейных измерений по формулам (13 и 14).

Априорная оценка точности высотных геодезических сетей выполняется аналогичным образом на основании матрицы весовых коэффициентов, вычисляемой по формуле (6 ). Для высотных геодезических сетей в уравнении (6)матрица параметрических уравнений поправок А составляется на основании следующего выражения

Следовательно, коэффициенты параметрического уравнения поправок могут быть равны +1 или -1. Число строк в матрице А равно числу всех измерений, а число столбцов (в отличии от плановых сетей ) - числу определяемых реперов.

Веса запроектированных измерений в высотных сетях вычисляются исходя из следующей формулы

(16)

где L i - j – длина секции нивелирного хода между определяемыми реперамиiиj(размерность км. );S i - j – длина линии между определяемыми реперами, измеренная с топографической карты; К – коэффициент, который изменяется в пределах 1.1К1.3 и зависит от рельефа местности. .

Средняя квадратическая ошибка определения репера в сети геометрического нивелирования может быть вычислена по следующей известной формуле

(17)

где - СКО единицы веса, которая на стадии предвычисления точности, принимается равной СКО на 1 км.хода. Она соответствует нормативным требованиям, которые определяются по запроектированному классу геометрического нивелирования;

Q Hi – диагональный элемент матрицы весовых коэффициентов.

Учитывая, что для высотной геодезической сети задается нормативная точность определения репера в наиболее слабом месте сети преобразуем формулу (17 ) к следующему виду

(18)

Априорная оценка точности измеряемых навигационных параметров основана на многочисленных статистических исследованиях, которые происходили до конкретной обсервации. В качестве основного параметра для априорной оценки точности измеряемых величин применяется средняя квадратическая погрешность измеряемого навигационного параметра т.

Особенностью определения координат является тот Аакт, что измерения -косвенные, т.е. измеряются навигационные параметры и допущенные погрешности затем переносятся в погрешности координат. Рассмотрим процедуру переноса погрешностей измерений в погрешности координат на примере ОМС по двум измерениям.

В этом случае линеаризованная система принимает вид: ;

Так как измерения имеют погрешности, то перепишем систему в виде

Формирование ковариационной матрицы погрешности измерений выполняется по формуле

где D - обозначение ковариационной.

Для двумерного случая выражение (2.24) выглядит так:

а операция математического ожидания, выполненная с матрицей 8U6U , превращает ее в ковариационную матрицу D,

На главной диагонали D находятся дисперсии.измеряемых навигационных параметров, а вне диагонали - ковариационные моменты, которые характеризуют статистическую связь между измерениями.

Аналогично определим ковариационную матрицу погрешностей искомых параметров, используя правила матричного исчисления (ABY l =B~ \ A~ \ и (Д- 1)-^^)- 1 .

N = D(A^) = D(SXSX 7) = D^A-"SU^A^SUY] = (A"D^A)^. (2.25)

Для двумерного случая ковариационная матрица N имеет вид:

где п 11 - дисперсия погрешностей широты, n-г.г - дисперсия погрешностей отшест-вия, ni2 = пг\ - ковариационные моменты.

Вся информация о погрешностях содержится в матрице N. В судовождении часто используется ее геометрическая интерпретация в виде эллипса погрешностей. Установим - связь между элементами матрицы N и параметрами эллипса:

полуосями и углом ориентации.

В общем случае такая задача рассматривалась Г. Хоттелингом в 1933 г. Ученым было доказано, что для ковариационной матрицы существуют. векторы, направлениям которых соответствуют максимальные и минимальные значения рассеивания (погрешностей). Эти значения соответствуют собственным числам матрицы. Направления собственных векторов, указывающие на направление максимального и минимального рассеивания (дисперсии), соответствуют направлениям полуосей эллипса. Собственные числа - это экстремальные значения дисперсий. Для перехода к линейным величинам - полуосям эллипса (гиперэллипса для /7-мерного пространства), необходимо извлечь квадратный корень.

Рассмотрим эту задачу для двумерного случая, т.е. для плоскости. Физика и геометрия собственных чисел и векторов заключается в том, что результатом

умножения исходной матрицы на собственный вектор будет вектор, коллинеарный собственному, по длине отличающийся в число раз, пропорциональное собственному значению. Математически это запишется в виде:

Поставим численный эксперимент, который прояснит эту запись. Выполним умножение Nz, где в качестве z будем выбирать единичный вектор с направлением У от 0 до 360°. Формирование компонент единичного вектора

Компоненты вектора р (значения Х и У) приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

У	^1	Y	X	R
	8,13	21,000	3,000	21,213
	8,48	21,049	3,139	21,282
	8,83	21,092	3,277	21,345
	9,18	21,128	3,415	21,402
	9,53	21,158	3,551	21,454
	9,87	21,182	3,686	21,500
	10,22	21,199	3,820	21,540
	10,55	21,209	3,953	21,574
	10,90	21,213	4,084	21,603
	11,24	21,211	4,215	21,625
	11,58	21,202	4,344	21,642
	11,92	21,187	4,471	21,653
	12,26	21,165	4,598	21,658
	12,60	21,137	4,723	21,658
	12,93	21,102	4,846	21,651
	13,27	21,061	4,968	21,639
...		...	...	...
	95,38	-0,692	7,358	7,390
	98,30	-1,062	7,281	7,358
	101,24	-1,432	7,201	7,342
	104,19	-1,801	7,120	7,344
	107,13	-2,169	7,037	7,363
	110,05	-2,537	6,951	7,400
	112,94	-2,905	6,863	7,453
	115,72	-3,271	6,113	7,522

В графе «У» указано направление единичного вектора z, в графе «Ti» -направление уже преобразованного вектора р. В графе «R» приведены значения длины вектора р. Из табличных данных видно, что расхождение в направлении вектора z и вектора р - величина переменная, но в районе 12° и 102° эти направления совпадают. Кроме того, им соответствуют максимальное и минимальное значение длины R. Таким образом, направления собственных векторов 12° и 102° - ортогональны. Собственные значения равны приблизительно 21,658 и 7,342 соответственно.

Для двумерного случая можно получить простые формулы. Согласно выражению (2.26), запишем:

а также представим в матричном виде:

Формально получаем

Квадратное уравнение. Решая его относительно X и,

принимая во внимание, что п-ц = пц (т.к. матрица N симметрическая), получим

Подставив значения из матрицы (2.27), получим а] == 21,659; Л^ = 7,341. Эти значения практически совпали с максимальным и минимальным значениями, приведенными в табл. 2.1.

Определим ориентацию собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям. Считая ^ известным, подставим это значение в уравнения системы (2.28) и решим ее относительно zi и z:, учитывая, что z/ == cosfF), z-г = = sinCF).

Первое уравнение системы (2.28) будет выглядеть так:

Разделив в первом уравнении левую и правую часть на cos(T), получим:

Подставив числовые значения, получим ^F = 12,388.

Таким образом, фактически получено направление большой полуоси эллипса У относительно норда. Если в уравнение (2.31) подставить другое значение Л, то получим направление малой полуоси, но так как они ортогональны, то практически это не требуется.

Для отыскания полуосей необходимо извлечь квадратные корни из собственных чисел

Когда говорят об оценке точности, то обычно добавляют слова априорная или апостериорная. Априорная - это оценка точности, выполненная по информации о погрешностях измерений, полученной ранее. Как правило, такая информация о точности измеряемых навигационных параметров основывается на многочисленных статистических исследованиях, которые происходили до конкретной обсервации в каких-либо осредненных условиях. Именно такая информация обычно содержится в ковариационной матрице погрешностей измерений, используемой при расчете координат. В формуле (2.18) она обозначена как D. Если погрешности измерений статистически независимы, то внедиагональные элементы равны нулю и матрица имеет вид:

Эти погрешности, в соответствии с правилом их переноса, формируют априорную ковариационную матрицу определяемых параметров.

Процедура построения эллипса погрешностей по ковариационной матрице сводится к следующим операциям:

Расчету собственных значений ^ по формуле (2.29);

Определению угла ориентации У по формуле (2.31);

Расчету полуоси по формулам (2.32).

На рис. 2.5 показана связь между элементами ковариационной матрицы и эллипсом. Отрезок, заключенный между касательной к эллипсу параллельной оси Y и самой осью, соответствует

СКП по широте:

Отрезок на оси Y,

отсекаемый вертикальной касательной, соответствует СКП по отшествию:

На рис. 2.5 также показана СКП обсервации М, которая рассчитывается как корень квадратный из следа ковариационной матрицы либо с помощью полуосей эллипса.

Существующие, приборы, системы и традиционные методы определения места судна имеют значительные недостатки. Так, например, погрешности определения счислимых координат зависят от точности работы лага и компаса, от гидрометеорологических условий "плавания, "погрешности определения счислимых координат растут с течением времени. Методы мореходной астрономии зависят от погодных условий, имеют ограниченную точность, а также требуют значительного времени для получения обсервованных координат. Визуальные методы определения места судна имеют ограниченный район применения, и их использование также зависит от погодных условий. Радиопеленгование имеет ограниченный район использования и низкую точность. Почти все радионавигационные системы имеют ограниченный район использования, а глобальные радионавигационные системы имеют и низкую точность. Спутниковые навигационные системы на низких орбитах обладают значительной дискретностью определения места. Радиолокационные станции имеют ограниченный район использования и необходимость опознания ориентиров.

Список можно продолжить, но уже совершенно очевидно, что недостатки традиционных методов и средств определения места судна в значительной мере снижают безопасность мореплавания.

1.6 Априорная и апостериорная оценка точности обсервации.

В соответствии с хорошей практикой любой инженерный расчет должен сопровождаться оценкой точности полученного результата: отыскание математического ожидания искомых параметров и их дисперсии. В судовождении при определении места судна рассчитывают координаты и оценивают их точность либо через ковариационную матрицу, либо через одну из ее геометрических интерпретаций, например в виде эллипса погрешностей.

Измерения проводятся с погрешностями, поэтому и обсервованные координаты вычисляются тоже с погрешностями.

1.6.1 Правило переноса погрешностей

Особенностью определения координат является тот факт, что измерения косвенные, то есть измеряются навигационные параметры, и допущенные погрешности затем переносятся в погрешности координат.

1.6.2 Априорная оценка точности обсервации

Для оценки точности обсервации используются вероятно-статистические методы, которые устанавливают границы некоторой доверительной области, в которой с заданной вероятностью может находиться истинное место судна. При этом делаются следующие допущения:

В измерениях отсутствуют промахи, т.е. грубые погрешности;
Систематические погрешности измерений определены и компенсированы поправкой;
Вычислительные погрешности и погрешности графики пренебрежительно малы;
Статистические числовые характеристики погрешностей измерений (дисперсия и СКП) и законы их распределения заданы априорно, т.е. по результатам предыдущих экспериментов (обсерваций). Эти априорные данные имеют приближенные средние значения и базируются на том, что все эксперименты, проведенные ранее с такими же приборами на судах, имеют сходные условия, что и текущая обсервация.

Рассмотрим этот вопрос на примере ОМС по двум измерениям. В этом случае линеаризованная система принимает вид.

A D X = D U (75)

Так как измерения с погрешностями, то перепишем систему в виде

A (D X+ d x) = D U+ d u. (76)

Тогда

A d x = d u.

Откуда

d x = A -1 d u. (77)

Погрешности измерений могут быть статистически зависимы. Такая зависимость существует хотя бы потому, что обычно используются как минимум одни и те же инструменты. Эта статистическая зависимость определяется коэффициентом корреляции, а общее описание такой зависимости дает ковариационная матрица погрешностей измерений.

Формирование ковариационной матрицы погрешности измерений выполняется по формуле

D(D u)= d u d u T . (78)

Для двумерного случая это выглядит так:

На главной диагонали находятся дисперсии измеряемых навигационных параметров, а вне диагонали - ковариационные моменты, которые характеризуют статистическую связь между измерениями.

Структура ковариационной матрицы погрешностей измерений определяет название МНК: если матрица диагональна и все ее компоненты равны, то алгоритм носит название МНК, если компоненты не равны, то это метод взвешенных наименьших квадратов; если матрица не диагональна, то это обобщенный МНК.

Погрешности измерений в процедуре расчета трансформируются в погрешности координат. В качестве такого преобразователя погрешностей используется матрица коэффициентов A.

Определим ковариационную матрицу погрешностей определяемых параметров, используя правила (A B) -1 = B -1 A -1 и (B -1) T =(B T) -1

D(D x)= d x d x T = (A -1 d u) (A -1 d u) T =A -1 d u d u T (A -1) T =

A -1 D(D u) (A -1) T = (A Т (D(D u)) -1 A) -1 .

В дальнейшем при написании ковариационных матриц, где это не вносит двузначности, будем опускать аргумент

Обозначим ковариационную матрицу погрешностей координат через

N= D(D x) = (A Т D -1 A) -1 . (79)

Для двумерного случая матрица N имеет вид:

где n 11 - дисперсия по широте

n 22 - дисперсия по отшествию.

n 12 = n 21 - ковариационные моменты.

В общем случае такая задача рассматривалась Хоттелингом Г. в 1933 г. Было показано, что для ковариационной матрицы существуют векторы, направлениям которых соответствуют максимальные и минимальные значения рассеивания (погрешностей). Численно эти значения соответствуют собственным числам матрицы. Направления собственных векторов, указывающие на направление максимального и минимального рассеивания (дисперсии), соответствуют направлениям полуосей эллипса. Собственные числа - это экстремальные значения дисперсий. Для перехода к линейным величинам - полуосям эллипса (гипер - эллипса для n-мерного пространства), необходимо извлечь квадратный корень.

Предположим, что в результате проектирования была получена плановая геодезическая сеть, изображенная на рисунке 2. В этой сети запроектировано: два исходных пункта (1 и 2 ); пять определяемых пунктов, из которых три (5,6 и 7 ) являются деформационными знаками, расположенными на теле оползня, а два пункта (3 и 4 ) – опорными, расположенными на устойчивом основании. Измеренными величинами в сети являются все внутренние углы (18 углов ) и сторона между пунктами 6 и 7.

В соответствии с теорией, изложенной в параграфе 2.1, для предвычисления необходимой точности измерений в таком геодезическом построении необходимо составить и решить матричное уравнение (6). Эти вычисления рекомендуется выполнять по программе PROURAV, которая входит в пакет прикладных программ, составленных на кафедре кадастра /13/. Эта программа предназначена для оценки точности проекта геодезического построения и уравнивания результатов измерений в плановых геодезических сетей. Программа работает в диалоговом режиме.

Главное меню программы

Примечание 1. В начальной стадии работы с проектом необходимо работать в режиме создания базы данных. В этом случае программа запросит у Вас имя файла в котором будет создана база данных.

Примечание 2. В том случае, когда Вы хотите продолжить ввод данных после перерыва, или выполнить корректировку введенной информации необходимо работать в режиме 2. В этом режиме программа по имени Вашего файла найдет созданную базу данных и выполнит необходимые операции.

Примечание 3. После создания базы данных и ее корректировки (если в этом была необходимость ) должен быть использован режим 3 меню программы, при котором программа вычислит матрицу весовых коэффициентов.

В режиме создания базы данных для работы программы необходимо ввести следующие блоки информации:

Рассмотрим создание базы данных для плановой геодезической сети, изображенной на рисунке 2.

Предварительная информация

1. Название проекта	Триангуляция
2. Ф.И.О. исполнителя	Ст. ГК-31 Иванов И.И.
3. Число исходных пунктов
4. Число определяемых пунктов
5. Число измеренных углов
6. Число измеренных длин линий
7. Число измеренных дирекционных углов
8. СКО измеренного угла
9. СКО измеренной длины линии
10. СКО измеренного дирекционного угла
11. Число оцениваемых функций

Примечание1. В первой и второй позиции может быть приведена любая символьная информация, которая содержит сведения о типе проекта и его исполнителе.

Примечание 2. При расчете необходимой точности измерения углов и длин линий в восьмой и девятой позиции предварительной информации необходимо привести значения, определяющие величину коэффициента К в формуле (11 ). Например, при задании К=1 эти величины должны быть соответственно равныm  =1m S =1. В случае, когда априорно задается К=9, тоm  =1,m S =0.3. Отметим, что при проектировании линейно-угловых построений целесообразно проектировать точность линейных измерений выше точности угловых измерений К1. Это обусловлено широкой возможностью в современных условиях выбора соответствующего светодальномера или электронного тахеометра /13 /.

Примечание 3. Позицию 11 целесообразно использовать только в том случае, когда необходимо оценить из проекта точность уравненных дирекционного угла и длины линии.

Информация об исходных пунктах

	Название пункта

Информация об определяемых пунктах

	Название пункта

Примечание 1. Название пункта может задаваться в виде любой символьной информации. Примечание 2. Координаты исходных и определяемых пунктов измеряются графически с топографического плана или карты, где запроектирована геодезическая сеть. Точность измерения координат должна быть не грубее 0.1мм в масштабе топографической карты. При этом размерность координат должна быть только в метрах.

Примечание 3. Координаты пунктов сети необходимы программе для вычисления коэффициентов параметрических уравнений поправок.

Информация о запроектированных углах

Название пункта	направление	направление

Информация о запроектированных сторонах

	Задний пункт	Передний пункт

Примечание1. Порядок нумерации запроектированных углов для программы значения не имеет.

Примечание 2. Порядок обозначения заднего и переднего пункта значения при вводе информации о запроектированных длинах линий значения не имеет.

Примечание 3. Данная информация необходима программе для преобразования индексов i,j,kв параметрическом уравнении поправок (формулы 7-9 ) в номера пунктов, образующие запроектированные измерения, и расстановке коэффициентов по соответствующим столбцам матрицы А.

Образец выдачи результатов

Режим проектирования плановой геодезической сети

Проект: линейно-угловая сеть

Вычисляет: Ст. ГК-31 Иванов И.И.

Матрица весовых коэффициентов уравненных параметров:

Примечание 1. Подчеркнутые диагональные элементы определяют наиболее слабый пункт запроектированной геодезической сети – 3, на плановое положение которого нормативными документами накладывается точностное ограничение m 0 =5cm. Следовательно, предвычисление необходимой точности измерения углов и длин линий в запроектированной сети триангуляции по формуле (14 ) необходимо выполнять относительно наиболее слабого 3 пункта.