Сокращенный перевод-пересказ статьи: .

Введение

В статье описаны основы подхода к моделированию движения объектов, который удобно применять в компьютерных играх. Этот подход прост, реализующие его программы работают быстро и достаточно устойчиво. Кроме того, для понимания его основ не требуется особых математических знаний (хотя сам подход имеет под собой твердые математические основания). С его помощью можно моделировать движение тканей, мягких и твердых тел, а также тел с учетом связей.

Физическое моделирование, т. е. моделирование движения персонажей, основанное на законах физики (а точнее - механики), изучается достаточно давно. В литературе (см. и др.) предлагаются различные подходы, много усилий вложено в создание точных и надежных алгоритмов. Точные методы моделирования движения известны в физике уже давно. Однако для игр и систем виртуальной реальности, точность - не самое главное достоинство (хотя хорошо, когда она есть). Гораздо важнее правдоподобие (программист может искажать модель реальности сколько угодно, лишь бы при этом ему удалось увлечь игрока) и скорость выполнения (на выполнение расчетов по моделированию движения отводится лишь часть времени, которое длится кадр анимации). В случае физического моделирования, термин "правдоподобие" подразумевает также устойчивость: нельзя признать удачным метод моделирования, при котором тела проникают сквозь препятствия или подпрыгивают, когда должны лежать неподвижно. Методы, описанные в данной работе, разрабатывались в первую очередь для достижения правдоподобия и скорости расчета. Они имеют высокую производительность и достаточно просты в реализации (по крайней мере, в сравнении с другими методами, решающими те же задачи).

Рассматриваемый метод является итеративным, так что, начиная с определенного шага, он может быть остановлен в любой момент. Это дает возможность выбирать между точностью расчетов и затраченным временем: если некоторая величина погрешности считается приемлемой, коду можно разрешить работать быстрее; причем величина погрешности может подбираться адаптивно во время выполнения. Метод также обрабатывает столкновения и контакты покоя (resting contact) и справляется с моделированием стопки сложенных друг на друга тел, что для многих физических движков является проблемой.

Успех применения метода складывается из правильного комбинирования и использования преимуществ нескольких техник:

метода численного интегрирования Верле;
обработки столкновений и проникновения тел при помощи проецирования (by projection);
простого решателя связей (constraint solver), использующего релаксацию;
аппроксимации квадратного корня, повышающей скорость вычислений;
моделирования твердых тел, как частиц, соединенных связями.

К каждой из указанных техник мы дадим короткое пояснение. При написании этого документа, автор старался сделать его доступным для максимально широкой аудитории, не потеряв при этом существенной информации, необходимой для реализации. Это означает, что математические объяснения и обоснования сведены к минимуму, если только они не имеют решающего значения для понимания предмета. Цель работы состоит в том, чтобы продемонстрировать возможности реализации довольно продвинутого и устойчивого метода физического моделирования, не утонув в математических тонкостях.

Содержание организовано следующим образом. В разделе 2, описано представление системы частиц без использования скорости. Такое представление имеет ряд преимуществ, из которых наиболее существенными являются устойчивость и простота реализации связей и других ограничений (constraints). В раздел 3 описано, как происходит обработка столкновений. Затем, в разделе 4, система частиц дополняется связями, позволяющими моделировать движение ткани. Раздел 5 объясняет, как настроить систему связанных между собой частиц для моделирования твердого тела. Далее, в разделе 6, показано как реализовать соединения между телами (в частности, шарниры). Раздел 7 содержит различные короткие заметки и некоторый опыт по реализации трения.

В дальнейшем, векторы обозначаются буквами со стрелочками, а их компоненты - нижними индексами: $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$ .

Метод интегрирования Верле

Сердцем симуляции (т. е. имитации физического процесса при помощи компьютерной системы) является система частиц. Обычно, при реализации такой системы предполагается, что каждая частица имеет две основные характеристики: координату (положение, position) $\vec{x}$ и скорость $\vec{v}$ . Тогда, новые значения координат $\vec{x}^\prime$ и скорости $\vec{v}^\prime$ вычисляются по формулам

$$ \begin{aligned} \vec{x}^\prime &= \vec{x} + \vec{v} \Delta t, \\ \vec{v}^\prime &= \vec{v} + \vec{a} \Delta t, \end{aligned} $$

где $\Delta t$ - шаг по времени, $\vec{a}$ - ускорение, вычисленное в соответствии со 2-м законом Ньютона $\vec{f}=m \vec{a}$ (где $\vec{f}$ - суммарная сила, действующая на частицу). Приведенные формулы реализуют простейший метод численного интегрирования - метод Эйлера.

Мы рассмотрим другое описание частицы, в котором скорость не используется: вместо хранения положения и скорости каждой частицы, мы будем сохранять текущее положение частицы $\vec{x}$ и ее положение на предыдущем шаге интегрирования $\vec{x}^{*}$ . Предполагая шаг интегрирования постоянным, получим следующие формулы для вычисления новых значений:

$$ \begin{aligned} \vec{x}^\prime &= 2\vec{x} - \vec{x}^{*} + \vec{a} \Delta t^2, \\ \vec{x}^{*} &= \vec{x}. \end{aligned} $$

Этот способ численного интегрирования называется методом Верле (см. ) и активно используется в молекулярной динамике.

Метод Верле опирается на приближенную формулу вычисления второй производной

$$ \frac{\Delta^2 \vec{x}}{\Delta t^2} = \frac{ \frac{\vec{x}^\prime - \vec{x}}{\Delta t} - \frac{\vec{x} - \vec{x}^{*}}{\Delta t} }{\Delta t} = \frac{\vec{x}^\prime - 2\vec{x} + \vec{x}^{*}}{\Delta t^2} = \vec{a} $$

Такое приближение не является самым точным (есть и более совершенные методы численного интегрирования), зато оно устойчиво и работает быстро. Уменьшая коэффициент 2 до, скажем, 1.99, мы тем самым вводим силу сопротивления, рассеивающую энергию системы. Отметим также, что $\vec{x}-\vec{x}^{*}$ - это расстояние, пройденное за последний шаг интегрирования ($\vec{v}\Delta t$ ).

В конце шага интегрирования текущее положение каждой частицы $\vec{x}$ сохраняется в соответствующей переменной $\vec{x}^{*}$ для использования на следующем шаге. Если частиц в системе много, то вместо копирования их координат удобно использовать перенаправление указателей.

Код, реализующий описанные выше идеи, может выглядеть так (класс Vector3 содержит все необходимые операции над векторами)

class ParticleSystem { Vector3 m_x [ NUM_PARTICLES ]; // Текущее положение Vector3 m_oldx [ NUM_PARTICLES ]; // Предыдущее положение Vector3 m_a [ NUM_PARTICLES ]; // Суммарная сила (ускорение) Vector3 m_vGravity ; // Гравитация float m_fTimeStep ; public : void TimeStep (); private : void Verlet (); void SatisfyConstraints (); void AccumulateForces (); // (конструкторы, инициализацию полей и т.п. опустим) }; // шаг интегрирования методом Верле void ParticleSystem :: Verlet () { for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) { Vector3 & x = m_x [ i ]; Vector3 temp = x ; Vector3 & oldx = m_oldx [ i ]; Vector3 & a = m_a [ i ]; x += x - oldx + a * fTimeStep * fTimeStep ; oldx = temp ; } } // суммирование сил, действующих на каждую частицу void ParticleSystem :: AccumulateForces () { // Все частицы находятся под действием гравитации for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) m_a [ i ] = m_vGravity ; } // проверка соблюдения наложенных связей void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { // Сейчас нам не важно, как это реализовано. } // шаг расчета void ParticleSystem :: TimeStep () { AccumulateForces (); Verlet (); SatisfyConstraints (); }

Пока все описанное выше выглядит не очень-то впечатляюще. Преимущества этого подхода станут ясны, как только мы перейдем к использованию связей и к описанию твердых тел.

Попробуйте задать $\vec{a}=(0,0,1)$ и начальные условия $\vec{x}=(1,0,0)$ , $\vec{x}^*=(0,0,0)$ . Вычислите вручную несколько шагов и посмотрите, что получится.

Столкновения и обработка контактов при помощи проецирования

Способы обработки контактов между телами, основанные на использовании штрафных функций (penalty-based schemes), предполагают, что в месте контакта, где возможно проникновение тел друг в друга, нужно вставить пружину для моделирования этого контакта. Такой подход прост в реализации, но приводит к ряду серьезных проблем. В частности, очень трудно подобрать жесткость пружины так, чтобы, с одной стороны, объекты не проникали друг в друга слишком глубоко, а с другой - чтобы система не потеряла устойчивость из-за слишком большой жесткости пружин. Еще один подход к обработке столкновений заключается в том, что при обнаружении столкновения время "отматывается" назад, вплоть до точного момента контакта тел (например, с помощью бинарного поиска), затем корректируются положения и скорости тел (по известным из курса физики формулам для столкновений), после чего расчет начинается заново с этого момента времени. И так - для каждого столкновения. Не слишком экономный подход, если предполагается моделировать в реальном времени движение множества тел.

Здесь мы рассмотрим другой подход. Проникшие в препятствие частицы мы будем проецировать за пределы препятствия. Под проецированием мы понимаем перемещение частицы, настолько малое, чтобы только освободить ее от препятствия. Как правило, это предполагает перемещение частицы по направлению нормали к поверхности контакта (препятствия) - отсюда и происхождение термина "проецирование".

Рассмотрим следующий пример. Пусть наш "мир" представляет собой внутренность куба размером (0,0,0)--(1000,1000,1000) и, кроме того, коэффициент восстановления (restitution coefficient) частиц равен нулю (т. е. столкнувшиеся с поверхностью куба частицы не отражаются от нее). Чтобы координаты частиц оставались внутри куба, запишем следующий код, реализующий проецирование:

// Заставляет частицы оставаться внутри куба void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // Для всех частиц Vector3 & x = m_x [ i ]; x = vmin (vmax (x , Vector3 (0 , 0 , 0 )), Vector3 (1000 , 1000 , 1000 )); } }

(vmax представляет собой покомпонентную операцию вычисления максимума, а vmin - аналогичное вычисление минимума). Это код позволяет обработать как столкновения, так и неподвижные контакты (resting contact) (т. е. случаи, когда точка покоится на поверхности куба), и сохраняет положение всех частиц внутри куба. Прелесть метода Верле в том, что соответствующие изменения в значения скоростей вносятся автоматически. В последующих вызовах TimeStep() скорость уже будет скорректирована так, чтобы не содержать составляющей, перпендикулярной поверхности куба (что соответствует нулевому значению коэффициента восстановления). См. рис.1.

Попробуйте сами проделать эти вычисления - и вы уведите, что не нужно обнулять скорость в направлении, перпендикулярном стенке куба - это происходит "само собой". Описанное может показаться тривиальным, если ограничится моделированием частиц, но основные преимущества метода Верле проявятся, как только мы перейдем к рассмотрению связей и связанных твердых тел. Т. е., прямо сейчас.

Обработка нескольких одновременно наложенных связей методом релаксации

Модель ткани обычно представляет собой систему частиц, соединенных пружинами. Дифференциальные уравнения такой системы построить несложно. Но одно дело построить, и совсем другое - решить. При этом всплывают все те проблемы, что мы имели при использовании штрафных функций: слишком жесткие пружины приводят к тому, что система уравнений сама становиться "жесткой" (stiff system), а это приводит к неустойчивости, если используются простейшие методы численного интегрирования или к медленной работе, если используются методы более совершенные - в обоих случаях головная боль обеспечена. И наоборот, слишком мягкие пружины приводят к тому, что ткань будет выглядеть нереалистично упругой.

Однако самое интересное произойдет, если устремить жесткость пружин к бесконечности: система вдруг становится разрешима даже для весьма простого (и быстрого) метода интегрирования, оставаясь при этом устойчивой. Но прежде чем мы продолжим разговор о ткани, давайте вернемся к предыдущему примеру. Куб, с которым мы имели дело, можно рассматривать как совокупность односторонних (unilateral) связей (т. е. связей, записываемых в форме неравенств) - по одной для каждой стороны куба - которые должны выполняться все время моделирования.

\begin{equation} x_i \geq 0 \ \text{and}\ x_i \leq 1000 \quad (i=1,2,3). \label{eq:C1} \end{equation}

В рассмотренном примере, для того чтобы соблюсти ограничения, накладываемые связями (чтобы частицы оставались внутри куба), достаточно просто спроектировать координаты "вылезших" частиц на поверхность куба. Эта идея описывается следующим псевдокодом:

// Псевдокод, позволяющий выполнить ограничения (1) for i = 1 , 2 , 3 set xi = min { max { xi , 0 }, 1000 }

Это можно представить себе так, будто частица и поверхность препятствия соединены бесконечно жесткой пружиной, которая, в случае удлинения, мгновенно возвращается к своей нормальной длине, равной нулю.

Расширим нашу модель, добавив к ней стержень длиной 100. Для этого нам понадобится задать две частицы ($\vec{x}_1$ и $\vec{x}_2$ ) и потребовать, чтобы расстояние между ними всегда было равно 100. Математическая запись этой двухсторонней (bilateral) связи имеет вид:

\begin{equation} |\vec{x}_2-\vec{x}_1| = 100. \label{eq:C2} \end{equation}

Даже если в начальный момент времени положения частиц удовлетворяют условиям \eqref{eq:C2}, то уже в следующий момент эти условия, скорее всего, выполняться не будут. Для того чтобы получить корректное значение расстояния, переместим частицы, проецируя их на множество решений, описанных \eqref{eq:C2}. Для этого частицы либо отодвигаются друг от друга, либо подтягиваются ближе, в зависимости от того, мало или велико расстояние, полученное численным интегрированием. См. рис.2.

Перемещение частиц для исправления расстояния, не удовлетворяющего ограничению \eqref{eq:C2}

Псевдокод, реализующий выполнение условий \eqref{eq:C2}:

Delta = x2 - x1 ; deltalength = sqrt (delta * delta ); diff = (deltalength - restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ;

Заметим, что delta - вектор, а delta*delta - скалярное произведение. Этот псевдокод будет раздвигать или сдвигать частицы так, чтобы добиться требуемого расстояния между ними. И вновь мы можем рассматривать это как бесконечно жесткую пружину, мгновенно возвращающую себе нормальную длину, равную 100.

Теперь предположим, что, помимо условия \eqref{eq:C2}, должно выполняться и условие \eqref{eq:C1} (частицы обязаны находиться внутри куба). Может оказаться, что при попытке соблюсти условие \eqref{eq:C2}, какая-то из частиц стержня нарушит требования \eqref{eq:C1} (стержень будет торчать из куба). Можно, конечно, снова спроектировать частицу-нарушителя на поверхность куба, выполняя \eqref{eq:C1}, но тогда будет нарушено уже \eqref{eq:C2}.

Чтобы удовлетворить одновременно требованиям \eqref{eq:C1} и \eqref{eq:C2} нам нужно решить систему уравнений. Мы это и сделаем, но не напрямую: просто будем повторять два фрагмента псевдокода друг за другом какое-то количество раз, в надежде, что результат окажется полезным. Такой подход реализован в следующем коде:

// реализация моделирования стержня внутри куба void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { for (int j = 0 ; j < NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { // Сначала выполним условия (1) for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // Для всех частиц Vector3 & x = m_x [ i ]; x = vmin (vmax (x , Vector3 (0 , 0 , 0 )), Vector3 (1000 , 1000 , 1000 )); } // Теперь удовлетворим (2) Vector3 & x1 = m_x [ 0 ]; Vector3 & x2 = m_x [ 1 ]; Vector3 delta = x2 - x1 ; float deltalength = sqrt (delta * delta ); float diff = (deltalength - restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ; } }

(здесь опущена инициализация частиц). Хотя такой способ "тупого" повторения и может показаться несколько наивным, тем не менее, он сходится к решению, которое мы ищем! В математике он называется методом релаксации (или Якоби, или Гаусса-Зейделя - в зависимости от того, как именно вы это делаете, см. ). Он работает, последовательно удовлетворяя отдельные ограничения, и сходится к глобальной конфигурации, которая удовлетворяет всем ограничениям одновременно. Этот метод очень полезен в ситуациях, когда должны одновременно выполняться несколько независимых ограничений.

Число необходимых итераций зависит от моделируемой системы и характера движения. Можно сделать выбор этого числа адаптируемым, измеряя изменение, произошедшее относительно предыдущей итерации. Если мы остановим итерации слишком рано, результат будет недостаточно точным, но, благодаря методу Верле, в следующем кадре он, вероятно, будет чуть лучше, а в следующем кадре - еще лучше, и т. д. Это означает, что преждевременная остановка релаксации не уничтожит анимацию полностью, но сделает картинку более дерганой.

Моделирование ткани

Тот факт, что связь типа стержня можно рассматривать как очень жесткую пружину, позволяет использовать этот вид связей для моделирования тканей. Предположим, например, что ткань представляется шестиугольной сеткой, состоящей из треугольников. Каждый узел сетки представляет собой частицу, а каждая грань - связь типа стержня, соединяющую частицы (нормальная длина стержня равна расстоянию между соединяемыми им узлами).

Функция HandleConstraints() , отвечающая за обработку связей, использует релаксацию по всем ограничениям. Цикл релаксации может повторятся несколько раз. Однако, чтобы получить хорошо выглядящую анимацию, в большинстве случаев достаточно всего одной итерации. Это означает, что расход времени в симуляции ткани зависит в основном от того, как долго выполняются $N$ операций вычисления квадратного корня и $N$ делений (где $N$ - число ребер в сетке, моделирующей ткань). Ниже мы покажем один трюк, позволяющий избавиться от вычисления квадратного корня. Но сначала рассмотрим как выглядит обработка ограничений.

// Реализация моделирования тканей struct Constraint { int particleA , particleB ; float restlength ; }; // Предположим, что массив ограничений m_constraints уже существует void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { for (int j = 0 ; j < NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { for (int i = 0 ; i < NUM_CONSTRAINTS ; i ++ ) { Constraint & c = m_constraints [ i ]; Vector3 & x1 = m_x [ c . particleA ]; Vector3 & x2 = m_x [ c . particleB ]; Vector3 delta = x2 - x1 ; float deltalength = sqrt (delta * delta ); float diff = (deltalength - c . restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ; } // Прикрепим одну из частиц, составляющих ткань, к началу координат m_x [ 0 ] = Vector3 (0 , 0 , 0 ); } }

Теперь обсудим, как избавиться от вычисления квадратного корня. Если все ограничения соблюдены (ну, или почти соблюдены), то, как мы уже знаем, результат вычисления квадратного корня стремится к $r$ - нормальной длине связи (стержня). Мы используем этот факт чтобы получить приближенное выражение для функции квадратного корня. Заменим функцию $\sqrt{x}$ членом 1-го порядка из ее разложения в ряд Тейлора в окрестности длины $r$ (это эквивалентно одной итерации метода Ньютона-Рафсона с начальным приближением $r$ ). После некоторых преобразований, получим следующий псевдокод:

// Псевдокод для соблюдения ограничений (2), использующий приближение sqrt delta = x2 - x1 ; delta *= restlength * restlength / (delta * delta + restlength * restlength ) - 0.5 ; x1 -= delta ; x2 += delta ;

Обратите внимание, что если расстояние уже удовлетворяет ограничениям (т. е., если |delta|=restlength), то мы получим delta равное (0,0,0) и никаких изменений не произойдет.

Теперь при обработке каждой связи мы больше не используем квадратные корни. Кроме того, квадрат значения restlength * restlength можно вычислить заранее. Трудоемкие операции сокращены до выполнения $N$ делений за кадр (и доступа к соответствующей памяти) - трудно придумать что-то, работающее существенно быстрее.

Ограничения не обязательно будут удовлетворены за одну итерацию, но, благодаря методу Верле, система быстро сходится к правильному состоянию (когда все ограничения соблюдены) - буквально за несколько кадров. На самом деле, использование только одной итерации и аппроксимации квадратного корня снимает проблему жесткости системы уравнений, которая обязательно проявилась бы у системы с абсолютно жесткими стержнями.

Размещая связи-стержни между парами соседних вершин, можно распространить алгоритм моделирования ткани на моделирование растений.

Код и уравнения, рассмотренные в этом разделе предполагают, что все частицы имеют одинаковую массу. Тем же способом можно моделировать и частицы с разными массами, но полученные уравнения будут немного сложнее.

Так, соблюдение ограничения \eqref{eq:C2} для частиц с разными массами реализует следующий псевдокод:

// Псевдокод для соблюдения ограничений (2) delta = x2 - x1 ; deltalength = sqrt (delta * delta ); diff = (deltalength - restlength ) / (deltalength * (invmass1 + invmass2 )); x1 -= invmass1 * delta * diff ; x2 += invmass2 * delta * diff ;

Здесь invmass1 и invmass2 хранят обратные массы частиц $\vec{x}_1$ и $\vec{x}_2$ . Если мы хотим, чтобы частица оставаться неподвижной, нужно установить для нее invmass = 0 , что соответствует бесконечной массе. Как и выше, для ускорения расчетов можно использовать приближенное вычисление квадратного корня.

Твердые тела

Уравнения движения твердых тел были предложены задолго до изобретения современных компьютеров. Для того, чтобы в те времена получить какие-то полезные результаты, математики должны были выполнять преобразования формул. Это привело к появлению таких полезных понятий и инструментов, как тензор инерции, момент импульса, момент сил, кватернионы для представления ориентации и т. п. Между тем, имеющиеся сейчас возможности обрабатывать огромные объемы данных в цифровой форме позволяют проводить расчеты для более простых элементов, а в некоторых случаях даже делают такие расчеты более выгодными. В случае трехмерных твердых тел, это означает, что может оказаться удобным моделировать твердое тело с помощью четырех частиц и шести связей (дающих правильное количество степеней свободы: $4 \cdot 3 - 6 = 6$ ). Это упрощает множество вещей, и именно этим мы займемся далее.

Рассмотрим тетраэдр, в каждую из четырех вершин которого помещена частица. Кроме того, каждое из шести ребер тетраэдра представляет собой ограничение типа стержня, рассмотренное в предыдущем разделе. Этого вполне достаточно, чтобы имитировать твердое тело. Тетраэдр можно поместить внутрь куба, рассмотренного выше, и интегратор Верле обеспечит его правильное движение. Функция SatisfyConstraints() должна позаботиться о двух вещах: 1) чтобы частицы оставались внутри куба, и 2) чтобы были соблюдены шесть ограничений-стержней. Сделать это, как и раньше, можно с использованием релаксации: обычно достаточно 3-х--4-х итераций. Не забывайте также об эффективном вычислении квадратного корня.

Однако ясно, что при столкновениях твердые тела будут вести себя не так как "скелетные" тетраэдры. Существует и другая проблема: до сих пор мы обнаруживали факт столкновения между твердым телом и окружающим "миром" только на основе информации о вершинах: если вершина оказывалась вне куба, она снова проектировалась вовнутрь. Это прекрасно работает, пока внутренняя часть "мира" выпукла. Если же это не так, то тетраэдр сможет проникнуть сквозь границу "мира" даже когда ни одна из его вершин эту границу не пересекала (см. рис.3, где треугольник представляет собой плоский аналог тетраэдра). Рассмотрим, как решается эта проблема.

Сначала разберем более простой вариант задачи. Возьмем стержень, поместим его в кубический "мир" и предположим, что у куба есть небольшой выступ, направленный внутрь. Теперь стержень может пересечь границы "мира", хотя обе частицы на его концах остаются внутри куба (рис.4). Мы не будем вдаваться в тонкости разработки механизма обнаружения столкновений (collision detection), так как это целая отдельная наука. Вместо этого предположим, что подсистема обнаружения столкновений уже существует и делает свое дело: позволяет определить глубину проникновения и координаты точек проникновения для каждого из двух сталкивающихся объектов. Одно из определений точек проникновения и глубины проникновения звучит так: глубина проникновения $d_p$ - это кратчайшее расстояние, на которое нужно развести два объекта в подходящем направлении, чтобы избежать их столкновения. Точки проникновения - это точки на каждом из объектов, которыми объекты касаются друг друга после того, как упомянутый выше перенос состоялся.

Взгляните еще раз на рис.4. Здесь, после этапа численного интегрирования, стержень проник через границу. Детектор столкновений определил две точки проникновения: $\vec{p}$ и $\vec{q}$ . На рис.4а, точка $\vec{p}$ фактически совпадает с одной из концевых частиц: $\vec{p}=\vec{x}_1$ . На рис.4б, $\vec{p}$ лежит между $\vec{x}_1$ и $\vec{x}_2$ на расстоянии 1/4 длины стержня от $\vec{x}_1$ . В обоих случаях, точка $\vec{p}$ лежит на стержне и, следовательно, ее координаты могут быть выражены в виде линейной комбинации координат точек $\vec{x}_1$ и $\vec{x}_2$ : $\vec{p} = c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2$ такой, что $c_1 + c_2 = 1$ . В первом случае $c_1 = 1$ , $c_2 = 0$ , а во втором - $c_1 = 0.75$ и $c_2 = 0.25$ . Эти значения говорят нам, на какое расстояние нужно передвинуть соответствующие частицы.

Чтобы скорректировать положение стержня, переместим его так, чтобы точка $\vec{p}$ совпала с $\vec{q}$ . Для этого передвинем частицы $\vec{x}_1$ и $\vec{x}_2$ в направлении, заданном вектором, соединяющим $\vec{p}$ и $\vec{q}$ : .

В первом случае (рис.4а), мы просто cпроектируем $\vec{x}_1$ за пределы области, где ей "запрещено" находиться, также как это делали раньше (в направлении $\vec{q}$ ). Этого будет достаточно, а координаты $\vec{x}_2$ вообще не нужно изменять. Во втором случае (рис.4б) точку $\vec{x}_1$ также нужно перенести на большее расстояние, чем $\vec{x}_2$ , поскольку точка $\vec{p}$ расположена ближе к $\vec{x}_1$ (действительно, так как $\vec{p} = 0.75\vec{x}_1 + 0.25\vec{x}_2$ , то всякий раз перемещая $\vec{x}_1$ на величину 0.75, мы перемещаем $\vec{x}_2$ только на 0.25). Другими словами, новые положения частиц $\vec{x}_1^\prime$ и $\vec{x}_2^\prime$ задаются соотношениями

\begin{equation} \begin{aligned} \vec{x}_1^\prime &= \vec{x}_1 + 0.75\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_2^\prime &= \vec{x}_2 + 0.25\lambda\cdot\vec{\Delta}, \end{aligned} \label{eq:x_new} \end{equation}

где $\lambda$ - неизвестная величина. Новое положение частицы $\vec{p}$ - $\vec{p}^\prime$ - вычисляется по формуле

$$ \vec{p}^\prime = c_1\vec{x}_1^\prime + c_2\vec{x}_2^\prime . $$

Вспомним, что мы хотим добиться, чтобы $\vec{p}^\prime = \vec{q}$ , т. е. должны выбрать $\lambda$ в точности таким, чтобы $\vec{p}^\prime$ в результате совпало с $\vec{q}$ . Так как мы перемещаем частицы только в направлении $\vec{\Delta}$ , то $\vec{p}$ также перемещается в направлении $\vec{\Delta}$ и, следовательно, решение уравнения $\vec{p}^\prime = \vec{q}$ можно найти, выразив $\lambda$ из

\begin{equation} \vec{p}^\prime\cdot\vec{\Delta} = \vec{q}\cdot\vec{\Delta} . \label{eq:pq} \end{equation}

Расписывая выражение, стоящее в левой части равенства, получим

$$ \begin{aligned} \vec{p}^\prime\cdot\vec{\Delta} &= (0.75\vec{x}_1^\prime + 0.25\vec{x}_2^\prime) \cdot\vec{\Delta} \\ &= (0.75 (\vec{x}_1 + 0.75\lambda\cdot\vec{\Delta}) + 0.25 (\vec{x}_2 + 0.25\lambda\cdot\vec{\Delta})) \cdot\vec{\Delta} \\ &= ((0.75\vec{x}_1 + 0.25\vec{x}_2)\cdot\vec{\Delta} + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 \\ &= \vec{p} \cdot\vec{\Delta} + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 , \end{aligned} $$

что, с учетом правой части \eqref{eq:pq}, дает

$$ \lambda = \frac{(\vec{p}-\vec{q}) \cdot\vec{\Delta}}{(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2} . $$

Подставляя найденное $\lambda$ в \eqref{eq:x_new}, получим скорректированные положения частиц $\vec{x}_1$ и $\vec{x}_2$ , при которых $\vec{p}^\prime$ совпадет с $\vec{q}$ .

На рис.5 показано положение, возникшее после перемещения частиц. Взаимного проникновения объектов теперь нет, но зато нарушено требование неизменности длины стержня. Чтобы это исправить, сделаем еще одну итерацию цикла релаксации (или даже несколько), после чего завершаем цикл исправлений положений частиц.

В случае тетраэдра описанная выше стратегия будет работать аналогично. Сначала находятся точки взаимопроникновения $\vec{p}$ и $\vec{q}$ (они также могут находится внутри треугольника) и $\vec{p}$ представляется линейной комбинацией четырех частиц $\vec{p}=c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3+c_4\vec{x}_4$ таких, что $c_1+c_2+c_3+c_4=1$ (это потребует решения небольшой системы линейных уравнений). После того, как будет найден $\vec{\Delta} = \vec{q}-\vec{p}$ , можно будет найти значение $\lambda$ по формуле

$$ \lambda = \frac{(\vec{p}-\vec{q}) \cdot\vec{\Delta}}{(c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2)\cdot\Delta^2} , $$

а исправленные положения частиц определяются как

$$ \begin{align*} \vec{x}_1^\prime &= \vec{x}_1 + c_1\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_2^\prime &= \vec{x}_2 + c_2\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_3^\prime &= \vec{x}_3 + c_3\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_4^\prime &= \vec{x}_4 + c_4\lambda\cdot\vec{\Delta}. \end{align*} $$

Итак, мы рассмотрели столкновение одного твердого тела с неподвижным "миром". Описанный выше метод можно легко обобщить для обработки столкновений нескольких твердых тел. При этом столкновения обрабатываются для одной пары тел в один момент времени и, вместо того, чтобы перемещать только $\vec{p}$ , понадобится перемещать $\vec{p}$ и $\vec{q}$ по направлению друг к другу.

И вновь, после корректировки положений частиц во избежание взаимного проникновения тел, необходимо позаботиться о выполнении еще шести ограничений - неизменности расстояний между частицами, составляющими твердое тело. С помощью этого метода, тетраэдр можно даже вложить внутрь другого объекта, который удобнее использовать вместо самого тетраэдра при обработке столкновений. На рис.6 показан тетраэдр, помещенный в куб.

Во-первых, куб должен быть каким-то образом прикреплен к тетраэдру. Один из подходов состоит в том, что в качестве центра куба выбирается центр масс тетраэдра $0.25\cdot (\vec{x}_1 + \vec{x}_2 + \vec{x}_3 + \vec{x}_4)$ , а затем по текущим координатам тетраэдра вычислить координаты вершин куба. При обнаружении столкновения, точка контакта $\vec{p}$ (которая теперь расположена на кубе) обрабатывается также, как и выше. Аналогично вычисляются и обновленные значения координат частиц. Для ускорения расчетов можно заранее вычислить коэффициенты $c_1$ --$c_4$ для всех вершин куба. Если $\vec{p}$ окажется вершиной, то значения $c_1$ --$c_4$ могут быть найдены и использованы непосредственно. В противном случае, $\vec{p}$ лежит внутри треугольника или на одной из его сторон, и значения $c_1$ --$c_4$ можно получить из предварительно вычисленных значений вершин треугольника при помощи интерполяции.

Как правило, для обработки столкновений достаточно 3--4 итераций. Если релаксацию остановить слишком рано, то тела не будут вести себя как абсолютно твердые. Но это даже хорошо, ведь абсолютно твердых тел в природе не существует. Кроме того, это делает систему более устойчивой.

При перестановке положений частиц, составляющих тетраэдр, физические свойства тела должны быть изменены соответствующим образом (математически это означает, что изменяется тензор инерции тела, зависящий от положений и масс частиц).

По тому же принципу, что и тетраэдр, можно задать другую подобную конфигурацию частиц и связей, расположив частицы в точках с координатами $(0,0,0)$ , $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ и $(0,0,1)$ . Пусть $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , и $\vec{c}$ - векторы, направленные из частицы 1 к частицами 2, 3 и 4, соответственно. Ограничим положения частиц, требованием, чтобы векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , и $\vec{c}$ имели единичную длину, и угол между каждой из трех пар векторов был равен $90^\circ$ (соответствующие скалярные произведения должны быть равны нулю). Заметим, что это снова, как и в случае с тетраэдром, даст 4 частицы и 6 связей.

Сочлененные тела

Теперь мы можем соединять несколько твердых тел при помощи шарниров (цилиндрических, сферических и т. п.). Предположив, что два тела имеют одну общую частицу, мы получим сферический шарнир (pin joint), а если общими являются две частицы, то получим цилиндрический шарнир (hinge) (рис.7). Таким же образом можно связать два тела при помощью стержня или любого другого вида связи - надо только не забыть добавить код для обработки нового вида связи в цикл релаксации.

Такой подход позволяет построить полную модель сочлененного человеческого тела. Реалистичность увеличится, если дополнительно реализовать ограничения на угловые перемещения в шарнирах. Существует несколько способов реализации таких ограничений. Простейший способ предполагает использование ограничения типа стержня, которые срабатывает только тогда, когда расстояние между двумя частицами станет ниже некоторого порогового значения (в данном случае мы имеем дело с односторонней связь вида $|\vec{x}_2 - \vec{x}_1| > 100$ ). Как следствие этого, обе частицы никогда не смогут слишком приблизиться друг к другу (рис.8).

Другой метод создания ограничений на угловые перемещения требует соблюдения следующего условия для скалярного произведения

$$ (\vec{x}_2 - \vec{x}_0)\cdot (\vec{x}_1 - \vec{x}_0) < \alpha . $$

Можно также ограничить перемещение частицы определенной плоскостью. И вновь, положения частиц, не удовлетворяющие заданным ограничениям, должны быть скорректированы. Делается это аналогично случаю стержня, хотя соответствующие формулы будут немного сложнее.

| Моделирование в электронных таблицах

Уроки 17 - 18
Моделирование в электронных таблицах

Моделирование движения тела под действием силы тяжести

Примеры движения под действием силы тяжести хорошо известны. Это и падение тела с некоторой высоты, и движение тела, брошенного вверх с некоторой скоростью, и движение тела, брошенного под углом к горизонту. Если в таких задачах не учитывать силу сопротивления воздуха, то все перечисленные виды движения описываются известными формулами. Но задачи, в которых сопротивление воздуха учитывается, не менее интересны.

ЗАДАЧА 3.24. Поражение цели

I этап. Постановка задачи

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Мальчики играют в бадминтон. Порыв ветра подхватил волан и отнес его на ветви дерева. Предстоит нелегкая задача - достать волан. Задачу можно решить несколькими способами. Каждый из способов имеет свои плюсы и минусы.

Можно, например, залезть на дерево. Но это очень опасное занятие: ветки дерева чем выше, тем тоньше. Велика вероятность падения. Можно спилить дерево. Но, видимо, еще никто не опробовал такой путь решения задачи. Если бы все выбирали такой способ решения задачи, то давно бы уже не осталось ни одного дерева. Можно ждать, когда волан упадет сам, подхваченный очередным порывом ветра. Наиболее часто волан пытаются сбить камнем. Выберем эту модель поведения и мы. Тем более, что нам известны законы движения тела.

ЦЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Исследовать движение тела, брошенного под углом к горизонту. Подобрать начальные значения скорости и угла бросания так, чтобы брошенное тело попало в цель.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Примечание. Чтобы задать точность попадания △ , надо учитывать размеры тела.

Точность попадания △ должна быть не более половины наименьшего геометрического размера тела.

Так, например, если цель - волан размером в диаметре примерно 7 см, то △ = 3,5 см. Если цель - баскетбольное кольцо диаметром 40 см, то △ = 20 см. Если цель - аэростат высотой 5 м, то △ = 2,5 м.

II этап. Разработка модели

ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ

Характеристики объектов и процесса представим в виде таблицы.

Параметры движения тела представлены на рисунке 3.4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается формулами

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ

Для моделирования выберем среду табличного процессора. В этой среде табличная информационная и математическая модели объединяются в таблицу, которая содержит три области:

♦ исходные данные;
♦ промежуточные расчеты;
♦ результаты.

1. Заполните область исходных данных по образцу.

Столбцы А, В, С, D, Е, F заполнить сверху вниз аналогичными формулами.

2. Заполните область промежуточных рассчетов и результатов.

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА

ТЕСТИРОВАНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТ 1

Исследовать движение тела.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2

Исследовать изменение движения тела при изменении начальной скорости.

ЭКСПЕРИМЕНТ 3

Исследовать изменение движения тела при изменении угла бросания.

ЭКСПЕРИМЕНТ 4

Изменяя начальную скорость и угол бросания, исследовать характер движения тела и его положение по отношению к цели.

ЭКСПЕРИМЕНТ 5

Изменяя исходную начальную скорость и угол, подобрать значения так, чтобы брошенное тело попало в цель с заданной точностью.

ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ТЕСТИРОВАНИЕ

1. Заполните столько строк расчетной таблицы, пока координата у не станет меньше нуля.

2. Сравните результаты тестового расчета с результатами, приведенными в примере расчета. Ниже в таблице представлено несколько строк с результатами расчетов по приведенным исходным данным.

3. По столбцам В и С построить диаграмму движения. Пример представлен на рисунке 3.6. Для построения диаграммы возьмите столько расчетных значений, чтобы кривая пересекла горизонтальную ось х .

4. Как определить, сколько расчетных точек надо взять для построения диаграммы?

Вывод. Для построения диаграммы надо взять расчетные значения, у которых координата y больше 0, и одно отрицательное значение.

ЭКСПЕРИМЕНТ 1. Исследование движения тела

1. По диаграмме тестового примера опишите, как движется тело.

2. Объясните, как по диаграмме определить точку наивысшего подъема тела.

3. Объясните, что на диаграмме обозначает точка пересечения кривой с горизонтальной осью х. Как по таблице расчетов определить эту точку?

4. Определите по диаграмме, на каком расстоянии от точки броска тело упадет на землю.

5. Определите по таблице расчетов:

Наибольшую высоту подъема;
время движения до наивысшей точки;
расстояние от точки броска до точки падения на землю;
время движения до падения.

В свободной области электронной таблицы запишите результаты исследования движения тела по предложенному образцу.

6. Введите другой вариант исходных данных, заполните для них таблицу результатов эксперимента.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2. Зависимость движения тела от начальной скорости (угол бросания неизменный)

1. Изменяя начальную скорость от 5 до 20 м/с, проследите, как изменяется наибольшая высота подъема (координата у)

2. Проследите, как изменяется дальность полета (координата x) при увеличении начальной скорости.

3. Проведите расчеты для некоторого угла и результаты исследований сведите в таблицу (таблица 2), составленную на свободном поле электронной таблицы.

4. Запишите в таблицу выводы по результатам эксперимента: как изменяется высота и дальность полета при изменении начальной скорости (при неизменном угле бросания)?

ЭКСПЕРИМЕНТ 3. Зависимость движения тела от угла бросания (начальная скорость движения неизменна)

1. Проведите расчеты по модели, увеличивая угол бросания от 5° до 85° и оставляя неизменной начальную скорость (например, 15 м/с).

2. Проследите изменение высоты подъема (координата у) при увеличении угла бросания, начальная скорость неизменна.

3. Проследите изменение дальности полета (координата x) при увеличении угла бросания.

4. Результаты расчетов сведите в таблицу на свободном поле электронной таблицы (таблица 3).

5. Запишите в таблицу выводы по результатам эксперимента: как изменяется высота и дальность полета при изменении угла бросания (при неизменной начальной скорости)?

ЭКСПЕРИМЕНТ 4. Исследование характера движения тела и его положения по отношению к цели

На рисунке 3.7 показаны варианты расположения кривой движения тела по отношению к цели. Их можно охарактеризовать следующим образом:

1. Тело при движении не достигает высоты, на которой расположена цель, и падает на землю, не достигая X ц .

2. Тело при движении не достигает высоты, на которой расположена цель, но падает на землю дальше X ц .

3. Тело при движении поднимается выше Y ц , но падает на землю, не достигая X ц .

4. Тело при движении поднимается выше Y ц и падает на землю дальше X ц .

В столбцах D, Е и F вычисляются величины S x , S y , S, которые показывают расположение тела по отношению к цели.

1. Исследуйте, что означает знак S x и S y в различные моменты времени.

Вывод.

2. Исследуйте, как изменяется S при движении тела.

Вывод. Полное расстояние до цели сначала уменьшается, а потом увеличивается.

3. Подберите исходные данные (начальную скорость и угол бросания), соответствующие вариантам движения тела, представленным на рисунке 3.7, на свободном поле электронной таблицы (таблица 4).

ЭКСПЕРИМЕНТ 5. Подбор исходных значений для попадания в цель

Прежде всего заметим, что существует бесконечное множество вариантов исходных данных для попадания в цель. Наша задача - подобрать один вариант.

1. По столбцу F определите наименьшее значение S . В этот момент тело ближе всего пролетает к цели.

2. Постройте столбец G анализа попадания. Будем считать, что тело попало в цель, если расстояние до цели стало меньше заданной точности (ячейка $D$10) . Для этого в ячейку G16 введите формулу =ЕСЛИ(F16<$D$10; «попал»; «мимо») .

3. Изменяйте исходные данные, чтобы получить наилучшее приближение к цели.

4. Результаты исследования запишите на свободном поле электронной таблицы (таблица 5).

5. Подберите еще один набор исходных данных, при котором тело попадет в цель «навесом», то есть после прохода наивысшей точки подъема.

6. Измените координаты цели и подберите значения начальной скорости и угла бросания для нового положения цели.

Результаты и выводы, полученные в экспериментах, оформите в виде отчета в текстовом документе. В отчете приведите ответы на следующие вопросы:

1. Как движется тело, брошенное под углом к горизонту?
2. Как определить наивысшую точку подъема?
3. Как определить дальность полета?
4. Как изменяется наибольшая высота подъема при увеличении начальной скорости и неизменном угле броска?
5. Как изменяется дальность полета при увеличении начальной скорости и неизменном угле броска?
6. Как изменяется наибольшая высота подъема при увеличении угла бросания и неизменной начальной скорости?
7. Как изменяется дальность полета при увеличении угла бросания и неизменной начальной скорости?
8. Как по расчетам определить положение тела по отношению к цели в каждый момент времени? Как это определить по таблице расчетов?
9. Как изменяется расстояние от тела до цели при движении и как это определить по таблице расчетов?