Формула полной вероятности. Формулы Бейеса. Примеры решения задач

Как известно, вероятностью события А называют отношение числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов: Р(А)=m/n.

Кроме того, условной вероятностью события А (вероятностью события А при условии, что наступило событие В) называется число Р В (А) = Р(АВ)/Р(В), где А и В – два случайных события одного и того же испытания.

Поскольку события представимы в виде суммы и произведения, то и существуют правила сложения вероятностей событий и, соответственно, правила умножения вероятностей . Теперь дадим понятие полной вероятности.

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий Н1, Н2, Н3, …, Нn, называемых гипотезами. Тогда справедлива следующая формула полной вероятности :

Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+…+ Р(Нn)*Р Нn (А) = ∑Р(Нi ) *Р Нi (А) ,

т.е. вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез (априорные вероятности) могут быть переоценены (апостериорные вероятности) по формулам Бейеса :

Примеры решения задач по теме «Формула полной вероятности. Формулы Бейеса»

Задача 1 .

На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй – 2% и третий – 4%. Найти вероятность того, что на сборку попадает бракованная деталь, если с первого автомата поступает 100 деталей, со второго – 200 и с третьего – 250 деталей.

Решение.

• событие А = {на сборку попадает бракованная деталь};
• гипотеза Н1 = {эта деталь с первого автомата}, Р(Н1)= 100/(100+200+250) =100/550=2/11;
• гипотеза Н2 = {эта деталь со второго автомата}, Р(Н2)= 200/(100+200+250) = 200/550=4/11;
• гипотеза Н3 = {эта деталь с третьего автомата}, Р(Н3)= 250/(100+200+250) = 250/550=5/11.

2. Условные вероятности того, что деталь бракованная составляют Р Н1 (А)=3%=0,03, Р Н2 (А)=2%=0,02, Р Н3 (А)=4%=0,04.

3. По формуле полной вероятности находим
Р(А)= Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+Р(Н3)*Р Н3 (А) = 0,03*2/11 + 0,02*4/11 + 0,04*5/11 = 34/1100 ≈ 0,03

Задача 2 .

Имеются две одинаковые урны. Первая содержит 2 черных и 3 белых шара, вторая – 2 черных и 1 белый шар. Сначала произвольно выбирают урну, а затем из нее наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар?

Решение. 1. Рассматриваем следующие события и гипотезы:

• А = {белый шар извлечен из произвольной урны};
• Н1 = {шар принадлежит первой урне}, Р(Н1)=1/2=0,5;
• Н2 = {шар принадлежит второй урне}, Р(Н2)=1/2=0,5;

2. Условная вероятность того, что белый шар принадлежит первой урне Р Н1 (А)=3/(2+3)=3/5, а условная вероятность того, что белый шар принадлежит второй урне Р Н2 (А)=1/(2+1)=1/3;

3. По формуле полной вероятности получим Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+Р(Н2)*Р Н2 (А) = 0,5*3/5 + 0,5*1/3 = 3/10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0,47

Задача 3 .

Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: из первого цеха – 70%, из второго цеха 30%. Литье первого цеха имеет 10% брака, литье из второго – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность ее изготовления первым цехом?

Решение. 1. Рассматриваем следующие события и гипотезы:

• событие А = {болванка без дефекта};
• гипотеза Н1 = {болванка изготовлена первым цехом}, Р(Н1)=70%=0,7;
• гипотеза Н2 = {болванка изготовлена вторым цехом}, Р(Н2)=30%=0,3.

2. Так как литье первого цеха имеет 10% брака, то 90% болванок, изготовленных первым цехом, не имеют дефекта, т.е. Р Н1 (А)=0,9.
Литье второго цеха имеет 20% брака, то 80% болванок, изготовленных вторым цехом, не имеют дефекта, т.е. Р Н2 (А)=0,8.

3. По формулу Бейеса найдем Р А (Н1)

0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

Практическое занятие № 6

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A.

Формулы Бейеса.

Пусть событие A может наступить при наступлении одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что событие A наступило. Надо определить, как изменились вероятности гипотез:

Пример 1. Компьютеры одной марки производят 2 предприятия. Первое предприятие выпускает 3/4 всех компьютеров, второе -1/4 . На первом предприятии 1% брака, на втором – 2% . Найти вероятность того, что купленный вами компьютер не исправен.

Решение. Пусть событие А – купленный компьютер не исправен. Полнаягруппа событий, необходимая для применения формулы полной вероятности, состоит из двух событий: – « компьютер куплен на первом заводе» и – « компьютер куплен на втором заводе».

По условию задачи

- вероятности брака соответственно на 1-ом и 2-ом предприятии.

Тогда, согласно формуле полной вероятности,вероятность купить бракованный компьютер, равна

Пример 2. В первойкоробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке –10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через А событие – из первой коробки извлечена стандартная лампа.

Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие ), либо нестандартная (событие ).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа,

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа равна

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа равна

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

Пример 3. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46% и третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

Решение . Обозначим через А событие, состоящее в том, что взято нестандартное изделие, через , , – гипотезы, состоящие в том, что взято изделие, изготовленное соответственно на первой, на второй, на третьей фабрике.

Из условия задачи следует, что

Поскольку в данном случае

то в соответствии с формулой Байеса находим искомую вероятность

Замечание . Аналогично находятся вероятности:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Ответить на следующие вопросы:

2. Какие события называют совместными (несовместными) в данном опыте?

3. Какие события называют противоположными?

4. Какие события называют равновозможными?

5. Что называют полной группой событий?

6. Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?

7. Что называют вероятностью события?

8. Чему равна вероятность достоверного, невозможного события?

9. В каких пределах заключена вероятность случайного события?

10. Что называют перестановками?

11. По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?

12. Что называют размещениями?

13. По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов?

14. Что называют сочетаниями?

15. По какой формуле вычисляют число сочетаний из n различных элементов по m элементов?

16. Что такое частота события?

17. Какое определение вероятности называют статистическим?

18. Что называют суммой двух событий?

19. Что называют суммой нескольких событий?

20. Что называют произведением двух событий?

21. Что называют произведением нескольких событий?

22. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

23. Чему равна вероятность суммы двух совместных событий?

24. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

25. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

26. Как определяется независимость двух событий?

27. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

28. Сформулируйте теорему о вероятности произведения зависимых событий.

29. Сформулируйтетеорему о вероятности появления хотя бы одного из n

Вариант № 1.

1. Что называют событием? Какое событие называют достоверным, невозможным, случайным в данном опыте?

3. Что называют перестановками?

4. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

5. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

Вариант № 2.

1. Какие события называют совместными (несовместными) в данном опыте?

2. Чему равна вероятность достоверного, невозможного события?

3. По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?

4. Как определяется независимость двух событий?

5. Сформулируйтетеорему о вероятности появления хотя бы одного из n событийнезависимых в совокупности.

Вариант № 3.

1. Какие события называют противоположными?

2. В каких пределах заключена вероятность случайного события?

3. Что называют размещениями?

4. Что называют суммой двух событий?

5. Сформулируйте теорему о вероятности произведения зависимых событий.

Вариант № 4.

1. Какие события называют равновозможными?

2. Что такое частота события?

3. По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов?

4. Что называют суммой нескольких событий?

5. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

Вариант № 5.

1. Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?

2. Какое определение вероятности называют статистическим?

3. Что называют сочетаниями?

4. Что называют произведением двух событий?

5. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

Вариант № 6.

1. Что называют полной группой событий?

2. Что называют вероятностью события?

3. По какой формуле вычисляют число сочетаний из n различных элементов по m элементов?

4. Что называют произведением нескольких событий?

5. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

1. Определение случайного события. Невозможное и достоверное события.

2. Взаимно противоположные события. Полная группа событий.

3. Совместные и несовместные события.

4. Зависимые и независимые события.

5. Классическое определение вероятности равновозможных событий.

6. Основные свойства классической вероятности.

7. Относительная частота случайного события.

8. Статистическая вероятность.

9. Определение суммы двух и более случайных событий.

10. Определение произведения случайных событий.

11. Формула для вероятности суммы двух несовместных случайных событий

12. Формула для вероятности суммы двух совместных случайных событий.

13. Вероятность полной группы событий. Вероятность противоположных событий.

14. Условная вероятность. Независимые случайные события.

15. Формула для вероятности произведения случайных событий.

16. Формула для вероятности наступления хотя бы одного из событий независимых в совокупности.

17. Перестановки. Формула перестановок.

18. Сочетания. Формула сочетаний.

19. Размещения. Формула размещений.

Формула Бейеса

Пусть события А может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий (гипотез) ,образующих полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятность гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:

Пример:

В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные - вторым. Брак в продукции первого автомата составляет 3%, второго - 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

Решение:

Обозначим через А событие, состоящее в том, что слу­чайно выбранное изделие является бракованным. - события, состоящие в том, что это изделие изготовлено соответственно первым и вторым автоматом.

Задачи:

1. На складе находятся детали, изготовленные на двух за­водах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе р1 = 0,05 , на втором заводе - p2 = 0,01 . Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

2. На склад поступает продукция трех продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3% , для второй - 2%, для третьей - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

3. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем про­дукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго -1%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что при­обретено изделие со второго завода, если оно оказалось испорченным?

4. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и разме­рам шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара. В двух других ящиках - по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлечен­ный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?

5. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения. По данным статистики Р(Н}) = 0,2, Р(H2) = 0,4, Р(H3) = 0,3, Р(H4) = 0,1. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: Р(А/H1) = 0,9, Р(А/H2) = 0, Р(А/H3) = 0,2, Р(А/H4) = 0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

6. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 1:2:3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствовала).

7. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй - 40%, третий - всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого - 2%, у второго - 3%, у третьего - 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.